北海道大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $t=\sin x+\cos x$ とおく。平方すると $$t^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2\sin x\cos x$$ であるから、$$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$$ である。よって $$f(x)=\sqrt{2}\sin x\cos x+\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}(t^2-1)+t$$ と表せる。

(2) $$t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$$ であり、$0\leqq x\leqq 2\pi$ の中で $x+\pi \mathrm{/}4$ は長さ $2\pi$ の区間を動く。したがって $$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$$ である。

(3) $$F(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}{t}^2+t-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ とおくと、$F(t)$ は下に凸の二次関数で、軸は $$t=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$ である。これは $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ に含まれるので、最小値は$$F(-\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{3\sqrt{2}}{4}$$である。このとき $$\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$ より $$\sin (x+\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$ したがって $$x+\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$$ となり、$$x=\frac{11\pi }{12},\frac{19\pi }{12}$$ で最小値をとる。

最大値は区間の端で比べればよい。計算すると$$F(\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2},$$$$F(-\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$であるから、最大値は $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ である。このとき $t=\sqrt{2}$、すなわち $$\sin (x+\frac{\pi }{4})=1$$ だから $$x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$$ より $$x=\frac{\pi }{4}$$ である。