北海道大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $AB=BA$ とする。このとき $(AB)B=A(BB)=A{B}^2$ である。一方、$B(AB)=(BA)B=(AB)B=A{B}^2$ である。したがって $(AB)B=B(AB)$ となり、$AB$ と $B$ は交換可能である。

(2) $$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$とおく。$$C=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)$$ であるから$$XC=\left(\begin{array}{cc}a+3b& 2a\\ c+3d& 2c\end{array}\right),CX=\left(\begin{array}{cc}a+2c& b+2d\\ 3a& 3b\end{array}\right)$$である。 $XC=CX$ より成分を比較すると、$$3b=2c,2a=b+2d,c+3d=3a$$ を得る。第1式から $b=\frac{2}{3}c$ であり、第3式から $a=\frac{1}{3}c+d$ である。よって$$X=\left(\begin{array}{cc}d+\frac{1}{3}c& \frac{2}{3}c\\ c& d\end{array}\right)=\frac{c}{3}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。

したがって $X=\alpha C+\beta E$ と表せる。ただし $\alpha =c\mathrm{/}3,\beta =d$ である。

(3) $Y$ は $C$ と交換可能なので、(2) より $Y=\alpha C+\beta E$ と表せる。$Y$ の $(2,2)$ 成分が $1$ であり、$C$ の $(2,2)$ 成分は $0$、$E$ の $(2,2)$ 成分は $1$ だから $\beta =1$ である。したがって $Y=\alpha C+E$ である。

ここで$$C^2={\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 3& 6\end{array}\right)=C+6E$$である。条件 $CY=tY$ より $$C(\alpha C+E)=t(\alpha C+E)$$ である。左辺は $$\alpha C^2+C=\alpha (C+6E)+C=(\alpha +1)C+6\alpha E$$ である。よって $$(\alpha +1)C+6\alpha E=t\alpha C+tE$$ となる。$C$ と $E$ は一次独立なので、係数比較により $$\alpha +1=t\alpha ,6\alpha =t$$ である。これより $\alpha +1=6{\alpha }^2$ すなわち $6{\alpha }^2-\alpha -1=0$ である。したがって $$\alpha =\frac{1}{2},-\frac{1}{3}$$ である。

よって$$Y=\frac{1}{2}C+E=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& 1\\ \frac{3}{2}& 1\end{array}\right)$$または$$Y=-\frac{1}{3}C+E=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& -\frac{2}{3}\\ -1& 1\end{array}\right)$$である。