北海道大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $x\geqq 2$ では $x>1$ であるから、$x^y$ は $y$ について単調増加である。よって $2^x\leqq x^y\leqq x^2$ の対数を取ると $$x\log 2\leqq y\log x\leqq 2\log x$$ となる。したがって $$\frac{x\log 2}{\log x}\leqq y\leqq 2$$ である。 $$g(x)=\frac{x\log 2}{\log x}$$ とおく。微分すると $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\log 2\cdot \frac{\log x-1}{(\log x{)}^2}$$ である。したがって $g(x)$ は $0<x<e$ で減少し、$x>e$ で増加する。ここで $2<e<3$ なので、$x\geqq 2$ では $x=e$ で最小になる。

また $$g(2)=\frac{2\log 2}{\log 2}=2,g(4)=\frac{4\log 2}{\log 4}=2$$ である。$g$ は $e$ より右で増加するので、$x>4$ では $g(x)>2$ となる。したがって $g(x)\leqq 2$ となるのは $2\leqq x\leqq 4$ である。

よって求める領域は $$2\leqq x\leqq 4,\frac{x\log 2}{\log x}\leqq y\leqq 2$$ である。図では、直線 $y=2$ と曲線 $y=g(x)$ に挟まれた部分で、両端は $(2,2),(4,2)$、曲線は $x=e$ で最も低くなる。

(2) $2\leqq x\leqq 6$ では $x>1$ である。したがって $(x^y-2^x)(x^a-x^y)\geqq 0$ は、$x^y$ が $2^x$ と $x^a$ の間にあることを表す。対数を取ると、これは $y$ が $$g(x)=\frac{x\log 2}{\log x}$$ と $a$ の間にあることと同値である。よって面積は $$S(a)={\int }_2^6\mathrm{\mid }a-g(x)\mathrm{\mid }dx$$ である。

(1) で調べたように、$g(x)\leqq 2$ となるのは $2\leqq x\leqq 4$ であり、その長さは $2$ である。また $4\leqq x\leqq 6$ では $g(x)\geqq 2$ であり、その長さも $2$ である。 $a$ を少し増やすと、$g(x)<a$ である部分の縦の距離は増え、$g(x)>a$ である部分の縦の距離は減る。したがって $S(a)$ が最小となるのは、$g(x)<a$ となる $x$ の長さと、$g(x)>a$ となる $x$ の長さが釣り合う位置である。 $a=2$ のとき、$g(x)\leqq 2$ の部分と $g(x)\geqq 2$ の部分はどちらも長さ $2$ である。さらに、$a<2$ では $g(x)<a$ となる部分は $(2,4)$ の中の一部に限られるので長さは $2$ より短く、$S(a)$ は $a$ を増やすと小さくなる。$a>2$ では $g(x)<a$ となる部分の長さが $2$ より長くなり、$S(a)$ は $a$ を増やすと大きくなる。

したがって $S(a)$ を最小にする値は $a=2$ である。

(1) の曲線と直線を実際に図示する。(2) は中央値の一般論を使わず、$S(a)-S(2)$ を長さ2の2区間に分け、逆三角不等式で直接非負と示す。

(1)
$x\geqq 2$ では $x>1$ なので、対数を取って$$\frac{x\log 2}{\log x}\leqq y\leqq 2$$を得る。$g(x)=x\log 2\mathrm{/}\log x$ と置けば$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\log 2\frac{\log x-1}{(\log x{)}^2}\mathrm{.}$$よって $g$ は $x=e$ まで減少し、その後増加する。また $g(2)=g(4)=2$ だから、領域は$$2\leqq x\leqq 4,g(x)\leqq y\leqq 2$$である。

(2)
面積は$$S(a)={\int }_2^6\mathrm{\mid }a-g(x)\mathrm{\mid }dx$$である。(1) より$$\begin{array}{cccc}& g(x)\leqq 2(2\leqq x\leqq 4),g(x)\geqq 2(4\leqq x\leqq 6)\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$まず $a>2$ とする。$[2,4]$ では$$\mathrm{\mid }a-g(x)\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }2-g(x)\mathrm{\mid }=a-2.$$一方、$[4,6]$ では逆三角不等式から$$\mathrm{\mid }a-g(x)\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }2-g(x)\mathrm{\mid }\geqq -(a-2)\mathrm{.}$$両区間の長さはともに2だから、積分して$$S(a)-S(2)\geqq 2(a-2)-2(a-2)=0.$$$0<a<2$ のときは、(1) の2区間の役割を入れ替える。同様に$$S(a)-S(2)\geqq 2(2-a)-2(2-a)=0.$$$a\mathrm{\ne }2$ なら、連続な曲線 $g$ が $2$ と $a$ の間に入る区間で逆三角不等式が真に厳しくなるため $S(a)>S(2)$ である。したがって最小にする値は$$a=2$$である。