問題
正の実数が，方程式
を満たすとする。
(1) をを用いて表せ。
(2) 正の実数が(★)およびを満たしながら動くとき，
の最大値を求めよ。
出典：北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
解法1（平方の不等式で比を最小化する方法）
指数はすべて底 にそろえ，， とおくと になり， から が出る。後半は とおくと，対数式は底の変換により にまとまる。 は増加関数なので， を最小化すればよい。最小化は平方完成型の不等式で処理し，微分による確認を別解として添える。
解法2（微分で比の増減を調べる方法）
指数式を平方の形にして を得る。対数式を にまとめた後， を微分し，減少から増加へ切り替わる点を求める。
解答
解法1（平方の不等式で比を最小化する方法）
(1)
与式の両辺を底 で表すと である。両辺に を掛けると となる。ここで とおくと，左辺は であり，右辺は である。したがって すなわち である。よって であり， となる。指数を比べて である。
(2)
とおく。条件 と より である。底の変換公式を用いると
である。したがって求める式は である。
(1) より だから である。ここで より である。すると
であるから である。等号は のとき成り立つ。このとき で， であり，実際に となって条件 を満たす。
よって の最大値は である。 は で増加関数だから，求める最大値は である。
解法2（微分で比の増減を調べる方法）
(1)
， とおくと，与式は
となる。よって であり， だから
を得る。
(2)
とおくと，条件から である。底の変換により，求める式は
となる。(1) より
ここで
したがって では減少し， では増加する。よって の最小値は のときの である。このとき となり，条件も満たす。
ゆえに の最大値は である。 は増加関数なので，求める最大値は
である。