北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

与式の両辺を底 $3$ で表すと $$\frac{3^{8x}+3^{2y^2+2}}{6}=3^{4x+y^2}$$ である。両辺に $6$ を掛けると $$3^{8x}+3^{2y^2+2}=6\cdot 3^{4x+y^2}$$ となる。ここで $$u=3^{4x},v=3^{y^2+1}$$ とおくと，左辺は $u^2+v^2$ であり，右辺は $2uv$ である。したがって $u^2+v^2=2uv$ すなわち $(u-v{)}^2=0$ である。よって $u=v$ であり，$3^{4x}=3^{y^2+1}$ となる。指数を比べて $y^2=4x-1$ である。

(2) $$r=\frac{x}{y}$$ とおく。条件 $$1-{\displaystyle \frac{x}{y}}>0$$ と $x,y>0$ より $0<r<1$ である。底の変換公式を用いると$$\frac{1}{{\log }_{1+r}4}={\log }_4(1+r),\frac{1}{{\log }_{1-r}4}={\log }_4(1-r)$$である。したがって求める式は $${\log }_4(1+r)+{\log }_4(1-r)={\log }_4(1-r^2)$$ である。

(1) より $y^2=4x-1$ だから $$r^2=\frac{x^2}{y^2}=\frac{x^2}{4x-1}$$ である。ここで $y>0$ より $4x-1>0$ である。すると$$\frac{x^2}{4x-1}-\frac{1}{4}=\frac{4x^2-(4x-1)}{4(4x-1)}=\frac{(2x-1{)}^2}{4(4x-1)}\geqq 0$$であるから $r^2\geqq \frac{1}{4}$ である。等号は $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき成り立つ。このとき $y^2=4\cdot \frac{1}{2}-1=1$ で，$y=1$ であり，実際に $r={\displaystyle \frac{1}{2}}$ となって条件 $0<r<1$ を満たす。

よって $1-r^2$ の最大値は $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ である。${\log }_{4}X$ は $X>0$ で増加関数だから，求める最大値は ${\log }_4\frac{3}{4}$ である。

指数式を平方の形にして $y^2=4x-1$ を得る。対数式を ${\log }_4(1-r^2)$ にまとめた後，$r^2=x^2\mathrm{/}(4x-1)$ を微分し，減少から増加へ切り替わる点を求める。

(1)
$u=3^{4x}$，$v=3^{y^2+1}$ とおくと，与式は$$u^2+v^2=2uv$$となる。よって $(u-v{)}^2=0$ であり，$u=v$ だから$$y^2=4x-1$$を得る。

(2)
$r=x\mathrm{/}y$ とおくと，条件から $0<r<1$ である。底の変換により，求める式は$${\log }_4(1+r)+{\log }_4(1-r)={\log }_4(1-r^2)$$となる。(1) より$$r^2=\frac{x^2}{4x-1},x>\frac{1}{4}\mathrm{.}$$ここで$${\left(\frac{x^2}{4x-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{2x(2x-1)}{(4x-1{)}^2}\mathrm{.}$$したがって $1\mathrm{/}4<x<1\mathrm{/}2$ では減少し，$x>1\mathrm{/}2$ では増加する。よって $r^2$ の最小値は $x=1\mathrm{/}2$ のときの $1\mathrm{/}4$ である。このとき $y=1$ となり，条件も満たす。

ゆえに $1-r^2$ の最大値は $3\mathrm{/}4$ である。${\log }_{4}X$ は増加関数なので，求める最大値は$${\log }_4\frac{3}{4}$$である。