北海道大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) 与えられた式を $w$ について解くと、$$w=\frac{1+z}{1-z}$$である。$z=x+yi$ を代入し、分母の共役複素数を掛けると、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle w}& {\displaystyle =\frac{1+x+yi}{1-x-yi}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(1+x+yi)(1-x+yi)}{(1-x{)}^2+y^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1-x^2-y^2+2yi}{(1-x{)}^2+y^2}\mathrm{.}}\end{array}$$実部と虚部を比較して、$$s=\frac{1-x^2-y^2}{(1-x{)}^2+y^2},t=\frac{2y}{(1-x{)}^2+y^2}\mathrm{.}$$(2) 分母 $(1-x{)}^2+y^2$ は、式が定義される範囲では正である。したがって $0\leqq s\leqq 1$ は$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\leqq 1,\\ {\displaystyle {(x-\frac{1}{2})}^2+y^2\geqq \frac{1}{4}}\end{array}$$と同値である。同様に $0\leqq t\leqq 1$ は$$\{\begin{array}{l}y\geqq 0,\\ (x-1{)}^2+(y-1{)}^2\geqq 1\end{array}$$と同値である。

よって $D$ は、上半円$$x^2+y^2\leqq 1,y\geqq 0$$のうち、中心 $(1\mathrm{/}2,0)$、半径 $1\mathrm{/}2$ の円の外部、かつ中心 $(1,1)$、半径1の円の外部にある部分である。

(3) 今度は $w=s+ti$ を用いて $z$ を表す。共役複素数を掛けると、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z}& {\displaystyle =\frac{s-1+ti}{s+1+ti}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{s^2+t^2-1+2ti}{(s+1{)}^2+t^2}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$x=\frac{s^2+t^2-1}{(s+1{)}^2+t^2},y=\frac{2t}{(s+1{)}^2+t^2},$$および$$-5x+y=L(s,t)=\frac{-5s^2-5t^2+2t+5}{(s+1{)}^2+t^2}\mathrm{.}$$$t$ を固定して $s$ の関数と見れば、$$\frac{d}{ds}L(s,t)=-\frac{2\{5s^2+2st+10s-5t^2+2t+5\}}{\{(s+1{)}^2+t^2{\}}^2}\mathrm{.}$$$0\leqq s,t\leqq 1$ では$$-5t^2+2t+5\geqq 2$$で、括弧内の他の項も非負である。よって導関数は負であり、各 $t$ に対して $L(s,t)$ は $s$ とともに減少する。したがって最小値は辺 $s=1$ 上で調べればよい。$$L(1,t)=\frac{-5t^2+2t}{t^2+4}$$とおくと、$$\frac{d}{dt}L(1,t)=-\frac{2(t^2+20t-4)}{(t^2+4{)}^2}\mathrm{.}$$区間 $0\leqq t\leqq 1$ にある停留点$$t=-10+2\sqrt{26}$$では導関数が正から負へ変わるので、ここは最大点である。最小値は端点のいずれかでとり、$$L(1,0)=0,L(1,1)=-\frac{3}{5}\mathrm{.}$$よって$$\underset{D}{\min }(-5x+y)=-\frac{3}{5}\mathrm{.}$$このとき $w=1+i$ であり、$$z=\frac{i}{2+i}=\frac{1+2i}{5}\mathrm{.}$$したがって最小点は$$(\frac{1}{5},\frac{2}{5})$$である。

領域 $D$ は次図の斜線部である。太線は $w$ 平面の正方形 $0\leqq s,t\leqq 1$ の4辺に対応する。