北海道大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) 定義より$$F\left(\frac{x}{2}\right)={\int }_0^{x}tf(x-t)dt$$である。ここで $s=x-t$ とおくと、$t=0$ のとき $s=x$、$t=x$ のとき $s=0$ であり、$dt=-ds$ だから$$F\left(\frac{x}{2}\right)={\int }_x^0(x-s)f(s)(-ds)={\int }_0^x(x-s)f(s)ds$$である。

(2) $H(x)=F(x\mathrm{/}2)$ とおく。(1)より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle H(x)}& {\displaystyle ={\int }_0^x(x-s)f(s)ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x{\int }_0^{x}f(s)ds-{\int }_0^{x}sf(s)ds}\end{array}$$である。微分すると$$H^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_0^{x}f(s)ds,H^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$$である。

一方、$H(x)=F(x\mathrm{/}2)$ だから、合成関数の微分により $$H^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{4}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(\frac{x}{2}\right)$$ である。したがって $$f(x)=\frac{1}{4}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(\frac{x}{2}\right)$$ を得る。

(3) $F(x)$ は3次式である。定義から $F(0)=0$ である。また$$H^{\mathrm{\prime }}(0)={\int }_0^{0}f(s)ds=0$$であり、$H^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}{F}^{\mathrm{\prime }}(x\mathrm{/}2)$ だから $F^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ である。よって $$F(x)=\alpha x^3+\beta x^2$$ とおける。

すると $F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6\alpha x+2\beta$ であるから、(2)より$$f(x)=\frac{1}{4}{F}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{4}(3\alpha x+2\beta )=\frac{3}{4}\alpha x+\frac{1}{2}\beta$$である。

条件 $F(1)=1$、$f(1)=1$ から $\alpha +\beta =1,$ $$\frac{3}{4}\alpha +\frac{1}{2}\beta =1$$ を得る。第2式を4倍して $3\alpha +2\beta =4$ であり、$\beta =1-\alpha$ を代入すると $3\alpha +2(1-\alpha )=4$ だから $$\alpha =2,\beta =-1$$ である。したがって $F(x)=2x^3-x^2$ であり、$f(x)=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$ である。