北海道大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
まず $h(x)=x-\sin x$ とおく。$x\geqq 0$ で $h^{\mathrm{\prime }}(x)=1-\cos x\geqq 0$ であり、$h(0)=0$ だから $\sin x\leqq x$ である。

次に $$\varphi (x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}$$ とおく。すると $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2},{\varphi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\sin x+x=x-\sin x$$ である。すでに示した $\sin x\leqq x$ より、$x\geqq 0$ で ${\varphi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ である。さらに $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(0)=0,\varphi (0)=0$$ だから、${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$、さらに $\varphi (x)\geqq 0$ が従う。よって $\sin x-x+\frac{x^3}{6}\geqq 0$ すなわち $$x-\frac{x^3}{6}\leqq \sin x\leqq x$$ である。

(2) $0\leqq t\leqq x$ では $t\geqq 0$ なので、(1)の不等式に $t$ を掛けて $$t^2-\frac{t^4}{6}\leqq t\sin t\leqq t^2$$ を得る。これを $0$ から $x$ まで積分すると$${\int }_0^x(t^2-\frac{t^4}{6})dt\leqq {\int }_0^{x}t\sin tdt\leqq {\int }_0^x{t}^{2}dt$$である。したがって$$\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30}\leqq {\int }_0^{x}t\sin tdt\leqq \frac{x^3}{3}$$である。

(3)
部分積分を用いると$${\int }_0^{x}t\sin tdt={[-t\cos t]}_0^x+{\int }_0^x\cos tdt=-x\cos x+\sin x$$である。よって$$\sin x-x\cos x={\int }_0^{x}t\sin tdt$$である。$x>0$ について(2)を $x^3$ で割ると $$\frac{1}{3}-\frac{x^2}{30}\leqq \frac{\sin x-x\cos x}{x^3}\leqq \frac{1}{3}$$ である。はさみうちより $$\underset{x\to +0}{\lim }\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\frac{1}{3}$$ である。

さらに $\sin x-x\cos x$ は奇関数であり、$x^3$ も奇関数なので、商 $\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}$ は偶関数である。したがって左側極限も同じ値になり、$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\frac{1}{3}$$ である。