北海道大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$f(x)={\int }_x^{x+\pi \mathrm{/}3}\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid }d\theta$$ である。積分区間の上端と下端が $x$ に依存しているので、微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\mid \sin (x+\frac{\pi }{3})\mid \cdot \frac{d}{dx}(x+\frac{\pi }{3})-\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\cdot \frac{d}{dx}x$$である。したがって である。

(2)

以下、$0\leqq x\leqq \pi$ とする。この範囲では $\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }=\sin x$ である。一方、$x+\pi \mathrm{/}3$ は $$\frac{\pi }{3}\leqq x+\frac{\pi }{3}\leqq \frac{4\pi }{3}$$ を動く。したがって $x=2\pi \mathrm{/}3$ を境に、$\sin (x+\pi \mathrm{/}3)$ の符号が変わる。

まず $$0\leqq x\leqq \frac{2\pi }{3}$$ では $\sin (x+\pi \mathrm{/}3)\geqq 0$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\sin (x+\frac{\pi }{3})-\sin x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cos (x+\frac{\pi }{6})\sin \frac{\pi }{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos (x+\frac{\pi }{6})}\end{array}$$である。よってこの区間では$$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0(0\leqq x<\frac{\pi }{3}),f^{\mathrm{\prime }}(x)<0(\frac{\pi }{3}<x\leqq \frac{2\pi }{3})$$である。

次に $$\frac{2\pi }{3}\leqq x\leqq \pi$$ では $\sin (x+\pi \mathrm{/}3)\leqq 0$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =-\sin (x+\frac{\pi }{3})-\sin x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\{\sin (x+\frac{\pi }{3})+\sin x\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\sqrt{3}\sin (x+\frac{\pi }{6})}\end{array}$$である。したがって$$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0(\frac{2\pi }{3}\leqq x<\frac{5\pi }{6}),f^{\mathrm{\prime }}(x)>0(\frac{5\pi }{6}<x\leqq \pi )$$である。

以上より、最大・最小の候補は $$x=0,x=\frac{\pi }{3},x=\frac{5\pi }{6},x=\pi$$ である。それぞれの値を求める。

まず$$f(0)={\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}\sin \theta d\theta ={[-\cos \theta ]}_0^{\pi \mathrm{/}3}=\frac{1}{2}$$である。また$$f\left(\frac{\pi }{3}\right)={\int }_{\pi \mathrm{/}3}^{2\pi \mathrm{/}3}\sin \theta d\theta ={[-\cos \theta ]}_{\pi \mathrm{/}3}^{2\pi \mathrm{/}3}=1$$である。

次に$$f\left(\frac{5\pi }{6}\right)={\int }_{5\pi \mathrm{/}6}^{7\pi \mathrm{/}6}\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid }d\theta$$である。この区間は $\pi$ をまたぐので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f\left(\frac{5\pi }{6}\right)}& {\displaystyle ={\int }_{5\pi \mathrm{/}6}^{\pi }\sin \theta d\theta +{\int }_{\pi }^{7\pi \mathrm{/}6}(-\sin \theta )d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-\frac{\sqrt{3}}{2})+(1-\frac{\sqrt{3}}{2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-\sqrt{3}}\end{array}$$である。最後に$$f(\pi )={\int }_{\pi }^{4\pi \mathrm{/}3}(-\sin \theta )d\theta ={[\cos \theta ]}_{\pi }^{4\pi \mathrm{/}3}=\frac{1}{2}$$である。

これらを比較すると $2-\sqrt{3}<\frac{1}{2}<1$ である。よって最大値は であり、最小値は である。

(1) は積分区間の両端を微分する。(2) は絶対値を外して $f(x)$ 自体を区分的な三角関数として求め、各区間の値域から最大・最小を読む。

(1)
積分区間の上端・下端をそれぞれ微分してである。

(2)
$0\leqq x\leqq 2\pi \mathrm{/}3$ では積分区間が $[0,\pi ]$ に含まれるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle ={\int }_x^{x+\pi \mathrm{/}3}\sin \theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos x-\cos (x+\frac{\pi }{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin (x+\frac{\pi }{6})\mathrm{.}}\end{array}$$この区間では $$\pi \mathrm{/}6\leqq x+\pi \mathrm{/}6\leqq 5\pi \mathrm{/}6$$ だから、最大値は $x=\pi \mathrm{/}3$ のときの1であり、端点での値はともに $1\mathrm{/}2$ である。

$2\pi \mathrm{/}3\leqq x\leqq \pi$ では積分区間が $\pi$ をまたぐので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle ={\int }_x^{\pi }\sin \theta d\theta +{\int }_{\pi }^{x+\pi \mathrm{/}3}(-\sin \theta )d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+\cos x+\cos (x+\frac{\pi }{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+\sqrt{3}\cos (x+\frac{\pi }{6})\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$5\pi \mathrm{/}6\leqq x+\pi \mathrm{/}6\leqq 7\pi \mathrm{/}6$$ だから、最小値は $x=5\pi \mathrm{/}6$ のとき$$2+\sqrt{3}\cos \pi =2-\sqrt{3}$$であり、この区間の両端では $1\mathrm{/}2$ である。以上よりとなる。