北海道大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

$x>0$ である。部分積分を用いると$$f(x)={\int }_1^e{t}^{x-1}\log tdt={[\frac{t^x}{x}\log t]}_1^e-{\int }_1^e\frac{t^x}{x}\cdot \frac{1}{t}dt$$である。したがって$$f(x)=\frac{e^x}{x}-\frac{1}{x}{\int }_1^e{t}^{x-1}dt=\frac{e^x}{x}-\frac{1}{x}{\left[\frac{t^x}{x}\right]}_1^e$$であり、$$f(x)=\frac{e^x}{x}-\frac{e^x-1}{x^2}=\frac{x{e}^x-e^x+1}{x^2}$$ である。

(2)

(1) より $$g(x)=x^{2}f(x)-x^2=x{e}^x-e^x+1-x^2$$ である。微分すると $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x+x{e}^x-e^x-2x=x(e^x-2)$$ である。$x>0$ なので、$g^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $e^x-2$ の符号で決まる。したがって $$0<x<\log 2\text{ で }{g}^{\mathrm{\prime }}(x)<0,x>\log 2\text{ で }{g}^{\mathrm{\prime }}(x)>0$$ である。よって $g(x)$ は $x=\log 2$ で極小となる。

極小値は $$g(\log 2)=(\log 2)\cdot 2-2+1-(\log 2{)}^2=2\log 2-1-(\log 2{)}^2$$ であり、$$2\log 2-1-(\log 2{)}^2=-(\log 2-1{)}^2$$ である。したがって $$x=\log 2,\text{極小値 }-(\log 2-1{)}^2$$ である。

(1) は $t=e^u$ と置換し、積分区間を $[0,1]$ に変えて ${\int }_0^{1}u{e}^{xu}du$ を部分積分する。(2) は得た式を $g(x)$ へ代入して分母を消し、$x>0$ の範囲で導関数の符号を調べる。

(1) $t=e^u$ とおくと、$dt=e^{u}du$、$\log t=u$ であり、積分区間は $0\leqq u\leqq 1$ となる。したがって$$f(x)={\int }_0^{1}u{e}^{xu}du\mathrm{.}$$$x>0$ だから部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle ={\left[\frac{u{e}^{xu}}{x}\right]}_0^1-\frac{1}{x}{\int }_0^1{e}^{xu}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{e^x}{x}-\frac{e^x-1}{x^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{x{e}^x-e^x+1}{x^2}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)$$g(x)=x{e}^x-e^x+1-x^2$$だから$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=x(e^x-2)\mathrm{.}$$$x>0$ より、$0<x<\log 2$ では負、$x>\log 2$ では正である。したがって $x=\log 2$ で極小となり、$$g(\log 2)=2\log 2-1-(\log 2{)}^2=-(\log 2-1{)}^2\mathrm{.}$$よって極小値は $-(\log 2-1{)}^2$、そのとき $x=\log 2$ である。