北海道大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $x>0$ なので、与えられた不等式 $$\frac{a}{x^2+1}\leqq \frac{1}{x}$$ の両辺に正の数 $x(x^2+1)$ をかけることができる。すると $ax\leqq x^2+1$ であり、さらに $x>0$ で割って $a\leqq x+\frac{1}{x}$ を得る。

この不等式がすべての正の実数 $x$ について成り立つためには、$a$ は $x+\frac{1}{x}$ の最小値以下でなければならない。相加相乗平均より $$x+\frac{1}{x}\geqq 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2$$ であり、等号は $x=1$ のときに成り立つ。したがって、条件を満たす $a$ の最大値は $\mathbf{2}$ である。

(2) $x=\tan \theta$ とおく。$x$ が $1$ から $\sqrt{3}$ まで動くとき、$\theta$ は $$\frac{\pi }{4}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{3}$$ を動く。また$$dx=\frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta ,x^2+1={\tan }^2\theta +1=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$$である。したがって $$\frac{dx}{x^2+1}=d\theta$$ となる。

よってである。

(3)

(1) の結果より、すべての $x>0$ について $$\frac{2}{x^2+1}\leqq \frac{1}{x}$$ が成り立つ。等号は $x=1$ のときだけである。したがって区間 $1<x<\sqrt{3}$ では $$\frac{2}{x^2+1}<\frac{1}{x}$$ である。

この不等式を $1$ から $\sqrt{3}$ まで積分すると、区間内で厳密な不等号が成り立つので $$2{\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x^2+1}<{\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x}$$ である。(2) より左辺は $$2\cdot \frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$$ であり、右辺は$${\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x}={[\log x]}_1^{\sqrt{3}}=\log \sqrt{3}=\frac{1}{2}\log 3$$である。したがって $$\frac{\pi }{6}<\frac{1}{2}\log 3$$ を得る。両辺を6倍して $\pi <3\log 3$ である。さらに $3\log 3=\log 3^3=\log 27$ だから である。