北海道大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

$P(a,a^2)$，$Q(-2a,4a^2)$ であり、$a\mathrm{\ne }0$ だから、直線 $PQ$ の傾きは $$\frac{4a^2-a^2}{-2a-a}=\frac{3a^2}{-3a}=-a$$ である。$C_1:y=x^2$ の $x=h$ における接線の傾きは $2h$ なので、$l$ の接点は $$2h=-a,h=-\frac{a}{2}$$ を満たす。したがって接点は $(-a\mathrm{/}2,a^2\mathrm{/}4)$ であり、接線 $l$ は $$y-\frac{a^2}{4}=-a(x+\frac{a}{2})$$ すなわち $$y=-ax-\frac{a^2}{4}$$ である。

(2)

$C_2$ と $l$ の共有点の $x$ 座標は $$-(x-1{)}^2=-ax-\frac{a^2}{4}$$ を満たす。これを整理すると $4x^2-4(a+2)x+4-a^2=0$ である。異なる2つの共有点をもつ条件は、この2次方程式の判別式が正であることである。 $$D=\{-4(a+2){\}}^2-4\cdot 4(4-a^2)=32a(a+2)$$ より、$a(a+2)>0$ でなければならない。したがって $a<-2,0<a$ である。

(3)

まず $$P{Q}^2=(-2a-a{)}^2+(4a^2-a^2{)}^2=9a^2+9a^4=9a^2(1+a^2)$$ である。

次に、$C_2$ と $l$ の2つの共有点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とする。2次方程式 $4x^2-4(a+2)x+4-a^2=0$ について、2解の差の2乗は $$(x_1-x_2{)}^2=\frac{D}{4^2}=\frac{32a(a+2)}{16}=2a(a+2)$$ である。2点 $R,S$ は同じ直線 $l$ 上にあり、$l$ の傾きは $-a$ であるから、$x$ 座標の差が $x_1-x_2$ のとき $$R{S}^2=(x_1-x_2{)}^2+\{-a(x_1-x_2){\}}^2=(1+a^2)(x_1-x_2{)}^2$$ である。よって $R{S}^2=2a(a+2)(1+a^2)$ である。

$PQ=RS$ であるから $$9a^2(1+a^2)=2a(a+2)(1+a^2)$$ である。$1+a^2>0$，$a\mathrm{\ne }0$ より $9a=2(a+2)$ となり、$7a=4,a=\frac{4}{7}$ を得る。この値は $0<a$ を満たすので、(2)の2交点条件にも合う。したがって $a=\frac{4}{7}$ である。

(1) は弦 $PQ$ の傾きと放物線の接線の傾きを一致させる。(2) は共有点方程式を平方完成し、右辺が正であることを2交点条件にする。(3) は平方完成形から2根の中点と半差を直接読み、直線 $l$ の方向ベクトルを使って弦 $RS$ の長さを出す。

(1) $P,Q$ を結ぶ直線の傾きは$$\frac{4a^2-a^2}{-2a-a}=-a$$である。$y=x^2$ の $x=h$ における接線の傾きは $2h$ だから、$2h=-a$、すなわち $h=-a\mathrm{/}2$ である。よって$$l:y=-ax-\frac{a^2}{4}\mathrm{.}$$(2) $C_2$ と $l$ の共有点の $x$ 座標は$$4x^2-4(a+2)x+4-a^2=0$$を満たす。両辺を4で割って平方完成すると$${(x-\frac{a+2}{2})}^2=\frac{a(a+2)}{2}\mathrm{.}$$異なる2つの実数解をもつ条件は右辺が正であることだから、$a(a+2)>0$ である。したがって$$a<-2\text{または}a>0.$$(3) (2) の平方完成形より、2根の差の絶対値は$$2\sqrt{\frac{a(a+2)}{2}}=\sqrt{2a(a+2)}$$である。$l$ の方向ベクトルを $(1,-a)$ と取れるので、$$R{S}^2=2a(a+2)(1+a^2)\mathrm{.}$$一方、$$\overrightarrow{PQ}=(-3a,3a^2)$$ より$$P{Q}^2=9a^2(1+a^2)\mathrm{.}$$したがって $PQ=RS$ は$$9a^2(1+a^2)=2a(a+2)(1+a^2)$$と同値である。$a\mathrm{\ne }0$、$1+a^2>0$ より $9a=2(a+2)$ となり、$a=4\mathrm{/}7$ を得る。これは $a>0$ を満たすので2交点条件にも適する。よって$$a=\frac{4}{7}\mathrm{.}$$