北海道大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

$C_1:y=(x-1)e^x$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$ である。したがって $x=t$ における接線の傾きは $t{e}^t$ であり、接線は $y-(t-1)e^t=t{e}^t(x-t)$ である。切片は $$(t-1)e^t-t^2{e}^t=(t-1-t^2)e^t$$ である。

一方、$C_2:y=\frac{1}{2e}{x}^2+a$ の $x=u$ における接線の傾きは $u\mathrm{/}e$ である。傾きが等しいので $$\frac{u}{e}=t{e}^t,u=t{e}^{t+1}$$ である。この接線の切片は、接点の座標を用いて $$(\frac{u^2}{2e}+a)-\frac{u}{e}u=a-\frac{u^2}{2e}$$ である。2つの接線が一致するため、切片を等しくすると $$a-\frac{t^2{e}^{2t+2}}{2e}=(t-1-t^2)e^t$$ である。よって $$a=e^t(\frac{1}{2}{t}^2{e}^{t+1}-t^2+t-1)$$ である。

(2)

(1) の右辺を $$A(t)=e^t(\frac{1}{2}{t}^2{e}^{t+1}-t^2+t-1)$$ とおく。微分すると $$A^{\mathrm{\prime }}(t)=t(t+1)(e^{t+1}-1)e^t$$ である。ここで $e^t>0$ であり、$e^{t+1}-1$ は $t+1$ と同じ符号をもつ。したがって $A^{\mathrm{\prime }}(t)$ の符号は、$t=-1$ では0になるがその前後で変わらず、全体として $$t<0\text{ で }{A}^{\mathrm{\prime }}(t)\leqq 0,t>0\text{ で }{A}^{\mathrm{\prime }}(t)>0$$ である。より詳しくは、$t<0$ では $t=-1$ を除いて $A^{\mathrm{\prime }}(t)<0$、$t>0$ では $A^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ である。

したがって $A(t)$ は $t=0$ まで減少し、その後増加する。極小値は $t=0$ のときに生じ、$A(0)=e^0(0-0+0-1)=-1$ である。よって $t=0,a_{\min }=-1$ である。

(1) は $C_1$ の接線を求め、それを $C_2$ の式へ代入する。接線が $C_2$ にも接することを、得られる2次方程式が重解をもつ条件として処理する。(2) は得た $a=A(t)$ を微分し、$t=-1$ では符号が変わらず、$t=0$ だけが極小点になることを確認する。

(1) $C_1$ の $x=t$ における接線は$$y=t{e}^{t}x+(t-1-t^2)e^t$$である。この直線と $C_2$ の共有点の $x$ 座標は$$\frac{x^2}{2e}-t{e}^{t}x+a-(t-1-t^2)e^t=0$$を満たす。接するための条件はこの2次方程式の判別式が0となることである。よって$$t^2{e}^{2t}-\frac{2}{e}\{a-(t-1-t^2)e^t\}=0.$$これを $a$ について解くと$$a=e^t(\frac{1}{2}{t}^2{e}^{t+1}-t^2+t-1)\mathrm{.}$$(2) 右辺を $A(t)$ とおく。微分して整理すると$$A^{\mathrm{\prime }}(t)=t(t+1)(e^{t+1}-1)e^t\mathrm{.}$$$e^t>0$ であり、$e^{t+1}-1$ は $t+1$ と同符号だから、$(t+1)(e^{t+1}-1)\geqq 0$ で、等号は $t=-1$ のときだけである。したがって $t<0$ では $t=-1$ を除いて $A^{\mathrm{\prime }}(t)<0$、$t>0$ では $A^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ である。$t=-1$ の前後で増減は変わらない。

よって $A(t)$ は $t=0$ まで減少し、その後増加する。したがって$$t=0\text{のとき極小値}A(0)=-1$$である。