北海道大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)

直線 $y=ax+b$ を双曲線 $$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$$ に代入する。分母を払うために36倍すると $9x^2-4(ax+b{)}^2=36$ である。展開して $$(9-4a^2)x^2-8abx-4b^2-36=0$$ を得る。これは共有点の $x$ 座標が満たす方程式である。

まず $9-4a^2\mathrm{\ne }0$、すなわち $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }3\mathrm{/}2$ の場合を考える。この2次方程式が実数解を持つ条件は判別式が0以上であることである。判別式を $D$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =(-8ab{)}^2-4(9-4a^2)(-4b^2-36)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =64a^2{b}^2+16(9-4a^2)(b^2+9)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =144\{b^2+9-4a^2\}}\end{array}$$である。したがって $D\geqq 0$ は $b^2\geqq 4a^2-9$ と同値である。

次に $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=3\mathrm{/}2$ の場合を確認する。このとき方程式は1次以下になる。もし $b\mathrm{\ne }0$ なら $-8abx-4b^2-36=0$ となり、これは実数解を持つ。一方、$b=0$ のときは直線が双曲線の漸近線 $y=\pm \frac{3}{2}x$ そのものになり、双曲線とは共有点を持たない。

したがって領域 $E$ は、おおまかには $b^2\geqq 4a^2-9$ で表される領域である。ただし、点 $(\frac{3}{2},0),(-\frac{3}{2},0)$ は除く。

図示すると、$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<3\mathrm{/}2$ ではすべての $b$ が含まれ、$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>3\mathrm{/}2$ では $$b\geqq \sqrt{4a^2-9}\text{または}b\leqq -\sqrt{4a^2-9}$$ の部分が含まれる。境界曲線は含まれるが、漸近線に対応する上の2点だけは含まれない。

(2)

求める量 $(a-15{)}^2+b^2$ は、$(a,b)$ 平面上で点 $(15,0)$ からの距離の2乗である。点 $(15,0)$ は領域のかなり右側にあるため、最小点は右側の境界 $b^2=4a^2-9$ 上に現れると考えられる。実際、この境界上で計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (a-15{)}^2+b^2}& {\displaystyle =(a-15{)}^2+4a^2-9}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2-30a+225+4a^2-9}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5a^2-30a+216}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5(a-3{)}^2+171}\end{array}$$である。これは $a=3$ のとき最小値 $171$ をとる。このとき $b^2=4\cdot 3^2-9=27$ であるから $b=\pm 3\sqrt{3}$ である。

なお、$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<3\mathrm{/}2$ の縦帯部分では、$(15,0)$ に最も近づくとしても $a$ は $3\mathrm{/}2$ に近づくだけであり、距離の2乗は $${(15-\frac{3}{2})}^2=\frac{729}{4}>171$$ より小さくならない。左側の境界や上側・下側で $\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ を大きくする点も、これより近くならない。

したがって最小値は $\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">171</mn>}$ であり、そのときの点は である。