北海道大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)

点 $(r\cos \theta +1,r\sin \theta )$ が楕円 $E$ 上にあるので $$\frac{(1+r\cos \theta {)}^2}{2}+r^2{\sin }^2\theta =1$$ である。両辺を2倍して整理すると $$(2-{\cos }^2\theta )r^2+2r\cos \theta -1=0$$ となる。この2次方程式を $r$ について解くと$$r=\frac{-\cos \theta \pm \sqrt{{\cos }^2\theta +2-{\cos }^2\theta }}{2-{\cos }^2\theta }=\frac{-\cos \theta \pm \sqrt{2}}{2-{\cos }^2\theta }$$である。$2-{\cos }^2\theta >0$ であり、$r>0$ だから正の解を取って $$r=\frac{\sqrt{2}-\cos \theta }{2-{\cos }^2\theta }$$ である。分母は $$2-{\cos }^2\theta =(\sqrt{2}-\cos \theta )(\sqrt{2}+\cos \theta )$$ だから $$r=\frac{1}{\sqrt{2}+\cos \theta }$$ である。

(2)

直線 $PF$ の方向を $\theta$ とする。この直線と楕円の2交点は、焦点 $F$ から見て方向 $\theta$ と $\theta +\pi$ にある。したがって(1)より$$PF+QF=\frac{1}{\sqrt{2}+\cos \theta }+\frac{1}{\sqrt{2}-\cos \theta }=\frac{2\sqrt{2}}{2-{\cos }^2\theta }$$である。

これに垂直な直線の方向は $\theta +\pi \mathrm{/}2$ と $\theta +3\pi \mathrm{/}2$ である。よって$$RF+SF=\frac{1}{\sqrt{2}-\sin \theta }+\frac{1}{\sqrt{2}+\sin \theta }=\frac{2\sqrt{2}}{2-{\sin }^2\theta }$$である。$u={\cos }^2\theta$ とおくと、$0\leqq u\leqq 1$ かつ $2-{\sin }^2\theta =1+u$ なので $$PF+QF+RF+SF=2\sqrt{2}(\frac{1}{2-u}+\frac{1}{1+u})$$ である。

ここで $(2-u)+(1+u)=3$ である。正の2数 $2-u$ と $1+u$ の和が一定なので、積は等しいときに最大になる。逆数和 $$\frac{1}{2-u}+\frac{1}{1+u}=\frac{3}{(2-u)(1+u)}$$ は、積が最大のときに最小となる。したがって $2-u=1+u,u=\frac{1}{2}$ で最小になる。このとき $$\frac{1}{2-u}+\frac{1}{1+u}=\frac{2}{3\mathrm{/}2}=\frac{4}{3}$$ である。よって求める最小値は $$2\sqrt{2}\cdot \frac{4}{3}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$$ である。