北大 2015年度理系（後期）数学第4問｜問題・解答・解説

方針

$x = a$ なので、 $x$ を固定して $b$ の範囲 $x ≦ b ≦ x + 2$ を見る。 $y = (b - 3)^{2}$ は $b = 3$ で最小になるため、区間 $[x, x + 2]$ が3の左にあるか、3をまたぐか、右にあるかで縦方向の $y$ の範囲が変わる。 $p = 1$ では1区間だけ、 $p = 5$ では $x = 1, 2, 3$ で場合分けして縦の長さを積分する。

解答

$x = a$ であるから、 $x$ を固定すると $x ≦ b ≦ x + 2$ であり、 $y = (b - 3)^{2}$ である。したがって、固定した $x$ に対して $b$ が区間 $[x, x + 2]$ を動くときの $y$ の最小値と最大値を調べればよい。

(1)

$p = 1$ のとき、 $0 ≦ x ≦ 1$ である。この範囲では $x + 2 ≦ 3$ なので、区間 $[x, x + 2]$ は $3$ の左側にある。 $b$ が3に近いほど $(b - 3)^{2}$ は小さくなるから、 $(1 - x)^{2} = (x + 2 - 3)^{2} ≦ y ≦ (x - 3)^{2} = (3 - x)^{2}$ である。よって面積は $S = \int_{0}^{1} {(3 - x)^{2} - (1 - x)^{2}} d x$ である。被積分関数を整理すると $(3 - x)^{2} - (1 - x)^{2} = (9 - 6 x + x^{2}) - (1 - 2 x + x^{2}) = 8 - 4 x$ なので $S = \int_{0}^{1} (8 - 4 x) d x = [8 x - 2 x^{2}]_{0}^{1} = 6$ である。

(2)

$p = 5$ のとき、 $0 ≦ x ≦ 5$ である。区間 $[x, x + 2]$ と $b = 3$ の位置関係で分ける。

$0 ≦ x ≦ 1$ では、(1)と同じく縦の長さは $(3 - x)^{2} - (1 - x)^{2} = 8 - 4 x$ である。

$1 ≦ x ≦ 2$ では、区間 $[x, x + 2]$ は $3$ を含むので最小値は0である。端点までの距離は $3 - x$ と $x - 1$ で、 $1 ≦ x ≦ 2$ では $3 - x ≧ x - 1$ だから、最大値は $(3 - x)^{2}$ である。縦の長さは $(3 - x)^{2}$ である。

$2 ≦ x ≦ 3$ でも最小値は0であるが、今度は $x - 1 ≧ 3 - x$ なので、縦の長さは $(x - 1)^{2}$ である。

$3 ≦ x ≦ 5$ では、区間 $[x, x + 2]$ は $3$ の右側にある。したがって $(x - 3)^{2} ≦ y ≦ (x - 1)^{2}$ であり、縦の長さは $(x - 1)^{2} - (x - 3)^{2}$ である。

以上より $\begin{aligned} S = & \int_{0}^{1} (8 - 4 x) d x + \int_{1}^{2} (3 - x)^{2} d x + \int_{2}^{3} (x - 1)^{2} d x \\ + \int_{3}^{5} {(x - 1)^{2} - (x - 3)^{2}} d x \end{aligned}$ である。各項は $\int_{0}^{1} (8 - 4 x) d x = 6,$ $\int_{1}^{2} (3 - x)^{2} d x = {[- \frac{(3 - x)^{3}}{3}]}_{1}^{2} = \frac{7}{3},$ $\int_{2}^{3} (x - 1)^{2} d x = {[\frac{(x - 1)^{3}}{3}]}_{2}^{3} = \frac{7}{3},$ $\int_{3}^{5} {(x - 1)^{2} - (x - 3)^{2}} d x = \int_{3}^{5} (4 x - 8) d x = 16$ である。したがって $S = 6 + \frac{7}{3} + \frac{7}{3} + 16 = \frac{80}{3}$ である。

別解

別解（高さを固定した横断面）

方針

$r = \sqrt{y} ≧ 0$ とおくと $b = 3 - r$ または $b = 3 + r$ である。各枝について $a ≦ b ≦ a + 2$ 、 $0 ≦ a ≦ p$ を $x = a$ の区間へ直し、同じ高さに現れる2区間の和集合の長さを求める。最後は $d y = 2 r d r$ で横断面積分する。

解答

$r = \sqrt{y} ≧ 0$ とおくと $b = 3 - r$ または $b = 3 + r$ である。固定した $b$ に対し、条件 $a ≦ b ≦ a + 2$ 、 $0 ≦ a ≦ p$ は $[b - 2, b] \cap [0, p]$ の範囲を $x = a$ が動くことを表す。

(1) $p = 1$ のとき、枝 $b = 3 + r$ は区間を生じない。枝 $b = 3 - r$ から得られる横断面の長さ $L (r)$ は $L (r) = {\begin{cases} r & (0 ≦ r ≦ 1), \\ 1 & (1 ≦ r ≦ 2), \\ 3 - r & (2 ≦ r ≦ 3) \end{cases}$ である。 $d y = 2 r d r$ より $\begin{aligned} S & = \int_{0}^{1} 2 r^{2} d r + \int_{1}^{2} 2 r d r + \int_{2}^{3} 2 r (3 - r) d r \\ = \frac{2}{3} + 3 + \frac{7}{3} = 6. \end{aligned}$ (2) $p = 5$ のとき、2つの枝からできる区間の和集合を調べると、横断面の長さは $L (r) = {\begin{cases} 2 + 2 r & (0 ≦ r ≦ 1), \\ 5 - r & (1 ≦ r ≦ 2), \\ 7 - 2 r & (2 ≦ r ≦ 3), \\ 4 - r & (3 ≦ r ≦ 4) \end{cases}$ である。したがって $\begin{aligned} S = & \int_{0}^{1} 2 r (2 + 2 r) d r + \int_{1}^{2} 2 r (5 - r) d r \\ + \int_{2}^{3} 2 r (7 - 2 r) d r + \int_{3}^{4} 2 r (4 - r) d r \\ = & \frac{10}{3} + \frac{31}{3} + \frac{29}{3} + \frac{10}{3} = \frac{80}{3} . \end{aligned}$

総評

難度6、計算量5。目安時間は20分。変数変換に見えるが、 $x = a$ がそのまま残るため、固定した $x$ ごとの縦断面を調べるのが最も安全である。採点点は、 $[x, x + 2]$ が $b = 3$ をまたぐかどうかで下端が0になること、 $1 ≦ x ≦ 2$ と $2 ≦ x ≦ 3$ で上端が入れ替わること、最後に縦の長さを積分することである。 $y = (b - 3)^{2}$ は単調ではないため、単純に端点だけを同じ順序で写すと誤りやすい。

出典: 北海道大学 2015年度後期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

北海道大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

方針

解答

別解

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解答

総評

北海道大学 2015年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第4問