北海道大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

点 $O,A,B$ はいずれも $y=z$ を満たす。また $A(1,1,1)$ と $B(-1,1,1)$ は一直線上でないので、これらを通る平面 $\alpha$ は $y=z$ である。

(1)

$C$ は $\alpha$ 上にあるから $C=(x,u,u)$ とおける。$x$ 座標は正である。$\overrightarrow{OC}$ が $\overrightarrow{OA}=(1,1,1)$ に垂直なので $x+u+u=0,x+2u=0$ であり、$$u=-\frac{x}{2}$$ である。また $\mathrm{\mid }\overrightarrow{OC}\mathrm{\mid }=1$ より $x^2+u^2+u^2=1$ だから $$x^2+2\left(\frac{x^2}{4}\right)=1,\frac{3}{2}{x}^2=1$$ である。$x>0$ より $$x=\frac{\sqrt{6}}{3},u=-\frac{\sqrt{6}}{6}$$ を得る。したがって$$C(\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{6}}{6},-\frac{\sqrt{6}}{6})$$である。

(2) $$\vec{a}=(1,1,1),\vec{b}=(-1,1,1),\vec{c}=(\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{6}}{6},-\frac{\sqrt{6}}{6})$$である。$\vec{b}=s\vec{a}+t\vec{c}$ とおくと、成分比較により $$-1=s+\frac{\sqrt{6}}{3}t,1=s-\frac{\sqrt{6}}{6}t$$ である。2式を引くと $$-2=\frac{\sqrt{6}}{2}t$$ なので $$t=-\frac{4}{\sqrt{6}}=-\frac{2\sqrt{6}}{3}$$ である。これを $1=s-\frac{\sqrt{6}}{6}t$ に代入して $1=s+\frac{2}{3}$ より $s=\frac{1}{3}$ である。したがって $$s=\frac{1}{3},t=-\frac{2\sqrt{6}}{3}$$ である。

(3)

平面 $\alpha$ は $y=z$ であり、その法線方向は $(0,1,-1)$ である。点 $P(x,y,z)$ からこの平面へ下ろした垂線の足は、$y,z$ の平均をとって $H(x,\frac{y+z}{2},\frac{y+z}{2})$ である。

$\overrightarrow{OH}=k\vec{a}+l\vec{c}$ とおくと$$(x,\frac{y+z}{2},\frac{y+z}{2})=k(1,1,1)+l(\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{6}}{6},-\frac{\sqrt{6}}{6})$$である。したがって $$k+\frac{\sqrt{6}}{3}l=x,k-\frac{\sqrt{6}}{6}l=\frac{y+z}{2}$$ を得る。2式を引くと $$\frac{\sqrt{6}}{2}l=x-\frac{y+z}{2}$$ なので $$l=\frac{2x-y-z}{\sqrt{6}}$$ である。これを第2式に戻すと$$k=\frac{y+z}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}l=\frac{y+z}{2}+\frac{2x-y-z}{6}=\frac{x+y+z}{3}$$である。よって $$k=\frac{x+y+z}{3},l=\frac{2x-y-z}{\sqrt{6}}$$ である。

(1) は平面 $\alpha :y=z$ 上で $\vec{c}\perp \vec{a}$、$\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1$ を解く。(2) は $\vec{a}\perp \vec{c}$ を利用し、$\vec{b}=s\vec{a}+t\vec{c}$ の両辺と $\vec{a},\vec{c}$ の内積を取る。(3) は同じ直交する2方向への正射影として $k,l$ を直接求める。

平面 $\alpha$ は $y=z$ である。

(1) $C=(r,u,u)$ とおく。$\vec{c}\perp \vec{a}$ より $r+2u=0$、$\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1$ より $r^2+2u^2=1$ である。$r>0$ を用いると$$\vec{c}=(\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{6}}{6},-\frac{\sqrt{6}}{6})\mathrm{.}$$(2) $\vec{a}\cdot \vec{c}=0$、$\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2=3$、$\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=1$ である。$\vec{b}=s\vec{a}+t\vec{c}$ の両辺と $\vec{a}$ の内積を取ると$$\vec{b}\cdot \vec{a}=1=3s,s=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$また両辺と $\vec{c}$ の内積を取ると$$t=\vec{b}\cdot \vec{c}=-\frac{2\sqrt{6}}{3}\mathrm{.}$$(3) $\vec{a},\vec{c}$ は平面 $\alpha$ 内の直交する2方向である。したがって、$P(x,y,z)$ の位置ベクトル $\vec{p}$ を平面へ正射影した $\overrightarrow{OH}$ は$$\overrightarrow{OH}=\frac{\vec{p}\cdot \vec{a}}{\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2}\vec{a}+\frac{\vec{p}\cdot \vec{c}}{\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2}\vec{c}\mathrm{.}$$よって$$k=\frac{x+y+z}{3},l=\vec{p}\cdot \vec{c}=\frac{2x-y-z}{\sqrt{6}}\mathrm{.}$$