北海道大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

問題の関係式は $A_{n+1}{A}_n=A_n+2E$ である。$A_n$ は逆行列を持つので、右から $A_n^{-1}$ をかけると $A_{n+1}=E+2A_n^{-1}$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_{n+1}+E}& {\displaystyle =2E+2A_n^{-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(E+A_n^{-1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2A_n^{-1}(A_n+E)}\end{array}$$である。

仮定より $A_1+E$ は逆行列を持つ。いま $A_n+E$ が逆行列を持つとすると、$A_n^{-1}$ も逆行列を持つので、積 $2A_n^{-1}(A_n+E)$ も逆行列を持つ。よって上の式から $A_{n+1}+E$ も逆行列を持つ。数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $A_n+E$ は逆行列を持つ。

さらに $$A_{n+1}+E=2A_n^{-1}(A_n+E)$$ の両辺の逆行列をとると、積の逆行列の順序に注意して $$(A_{n+1}+E{)}^{-1}=\frac{1}{2}(A_n+E{)}^{-1}{A}_n$$ である。ここで $A_n$ と $A_n+E$ は可換である。したがって $A_n$ は $(A_n+E{)}^{-1}$ とも可換であり $$(A_n+E{)}^{-1}{A}_n=A_n(A_n+E{)}^{-1}$$ である。よって が成り立つ。

(2) $$B_n=(2E-A_n)(A_n+E{)}^{-1}$$ である。まず $A_{n+1}=E+2A_n^{-1}$ より $2E-A_{n+1}=E-2A_n^{-1}$ である。また (1) より $$(A_{n+1}+E{)}^{-1}=\frac{1}{2}{A}_n(A_n+E{)}^{-1}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle B_{n+1}}& {\displaystyle =(2E-A_{n+1})(A_{n+1}+E{)}^{-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(E-2A_n^{-1})\cdot \frac{1}{2}{A}_n(A_n+E{)}^{-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}(A_n-2E)(A_n+E{)}^{-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{1}{2}(2E-A_n)(A_n+E{)}^{-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{1}{2}{B}_n}\end{array}$$である。

よって が成り立つ。これを繰り返すと $$B_2=-\frac{1}{2}{B}_1,B_3={(-\frac{1}{2})}^2{B}_1,\dots$$ となるので、一般に である。