北海道大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$I_m={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^m\theta d\theta$$ とおく。$I_{n+1}$ について $$I_{n+1}={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^n\theta \sin \theta d\theta$$ である。$\sin \theta d\theta =-d(\cos \theta )$ と見て部分積分すると、端では $\cos \theta =0$ または $\sin \theta =0$ となるので境界項は0であり、$$I_{n+1}=n{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n-1}\theta {\cos }^2\theta d\theta$$ である。ここで ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ より$$I_{n+1}=n{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n-1}\theta d\theta -n{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n+1}\theta d\theta$$となる。したがって $$I_{n+1}=n{I}_{n-1}-n{I}_{n+1}$$ であり、$$I_{n+1}=\frac{n}{n+1}{I}_{n-1}$$ が成り立つ。

(2) $$h(\theta )=a{\sin }^{n+1}\theta -{\sin }^{n-1}\theta$$ とおくと、$$f(x)={\int }_0^x(x-\theta )h(\theta )d\theta$$ である。上端の項は $(x-x)h(x)=0$ なので $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_0^{x}h(\theta )d\theta$$ である。したがって $$f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{\pi }{2}\right)=a{I}_{n+1}-I_{n-1}$$ である。これが0である条件は $a{I}_{n+1}=I_{n-1}$ であり、(1)を用いると $$a\cdot \frac{n}{n+1}{I}_{n-1}=I_{n-1}$$ となる。$I_{n-1}>0$ だから $$a=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$$ である。条件 $a>3\mathrm{/}2$ より $1+\frac{1}{n}>\frac{3}{2}$ すなわち $n<2$ である。$n$ は自然数なので $n=1,a=2$ である。

(3)

$n=1,a=2$ のとき$$f\left(\frac{\pi }{2}\right)={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(\frac{\pi }{2}-\theta )(2{\sin }^2\theta -1)d\theta$$である。$2{\sin }^2\theta -1=-\cos 2\theta$ より$$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(\frac{\pi }{2}-\theta )\cos 2\theta d\theta$$である。部分積分で$$\int (\frac{\pi }{2}-\theta )\cos 2\theta d\theta =(\frac{\pi }{2}-\theta )\frac{\sin 2\theta }{2}-\frac{\cos 2\theta }{4}$$だから$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(\frac{\pi }{2}-\theta )\cos 2\theta d\theta ={[-\frac{\cos 2\theta }{4}]}_0^{\pi \mathrm{/}2}=\frac{1}{2}$$である。したがって $$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{2}$$ である。

(1) は ${\sin }^n\theta \cos \theta$ の導関数を積分し、端点値が0であることから積分漸化式を得る。(2) は上端が動く積分を微分し、(1)で $a$ を決める。(3) は $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\cos 2x$ と初期条件 $f(0)=f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ を用いて2回積分する。

(1) $$\frac{d}{d\theta }\{{\sin }^n\theta \cos \theta \}=n{\sin }^{n-1}\theta -(n+1){\sin }^{n+1}\theta \mathrm{.}$$これを $0$ から $\pi \mathrm{/}2$ まで積分する。左辺の原始関数は両端で0だから$$0=n{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n-1}\theta d\theta -(n+1){\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n+1}\theta d\theta \mathrm{.}$$したがって$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n+1}\theta d\theta =\frac{n}{n+1}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n-1}\theta d\theta \mathrm{.}$$(2) 被積分関数の括弧内を $h(\theta )$ とおくと$$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_0^{x}h(\theta )d\theta \mathrm{.}$$よって $f^{\mathrm{\prime }}(\pi \mathrm{/}2)=0$ と (1) から$$(\frac{an}{n+1}-1){\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n-1}\theta d\theta =0.$$積分は正だから $a=(n+1)\mathrm{/}n=1+1\mathrm{/}n$ である。$a>3\mathrm{/}2$ より $n<2$。したがって$$n=1,a=2.$$(3) このとき$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2{\sin }^{2}x-1=-\cos 2x\mathrm{.}$$定義から $f(0)=f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ である。2回積分して$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{2}\sin 2x,f(x)=\frac{1}{4}\cos 2x-\frac{1}{4}\mathrm{.}$$よって$$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$