北海道大学 2020年度
理系数学 前期 第1問

解答

解法1

(1)

$\overrightarrow{AB}=\vec{u},\overrightarrow{AC}=\vec{v}$ とおく。条件より

である。したがって $|\vec{v}-\vec{u}{|}^2=|\vec{v}{|}^2+|\vec{u}{|}^2-2\vec{u}\cdot \vec{v}$ より $6=4+1-2\vec{u}\cdot \vec{v}$ である。よって $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\vec{u}\cdot \vec{v}=-\frac{1}{2}$ である。

(2)

点 $O$ は外接円の中心で、直線 $AO$ と外接円とのもう1つの交点が $P$ である。したがって $AP$ は外接円の直径である。よって円周角の性質から $\angle ABP=90^{\circ },\angle ACP=90^{\circ }$ である。 $\overrightarrow{AP}=s\vec{u}+t\vec{v}$ とおく。まず

であり、$\vec{u}\cdot \overrightarrow{BP}=0$ だから $(s-1)|\vec{u}{|}^2+t\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ すなわち $s-1-\frac{1}{2}t=0$ である。したがって $s-\frac{1}{2}t=1$ を得る。

同様に

であり、$\vec{v}\cdot \overrightarrow{CP}=0$ だから $s\vec{u}\cdot \vec{v}+(t-1)|\vec{v}{|}^2=0$ である。よって $-\frac{1}{2}s+4t=4$ を得る。

連立方程式 $s-\frac{1}{2}t=1,-\frac{1}{2}s+4t=4$ を解くと $s=\frac{8}{5},t=\frac{6}{5}$ である。

(3)

点 $D$ は直線 $AP$ 上にあるので、ある実数 $\lambda$ を用いて

と書ける。

一方、点 $D$ は直線 $BC$ 上にあるので、ある実数 $\mu$ を用いて

と書ける。$\vec{u},\vec{v}$ は一次独立なので係数を比較して $\frac{8}{5}\lambda =1-\mu ,\frac{6}{5}\lambda =\mu$ である。2式を加えると $\frac{14}{5}\lambda =1$ となるから $\lambda =\frac{5}{14}$ である。

次に $AP$ の長さを求める。$\overrightarrow{AP}=\frac{8}{5}\vec{u}+\frac{6}{5}\vec{v}$ だから

である。したがって $AD=\lambda AP=\frac{5}{14}\sqrt{\frac{32}{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{7}$ である。

解法2（座標を置いて外心を求める）

(1)

$A=(0,0),B=(1,0)$ と置く。$C=(u,v)$ とすると

である。差を取ると $u=-1/2$ であり、上半平面に $C$ を取れば

となる。したがって

である。

(2)

辺 $AB$ の垂直二等分線から、外心を $O=(1/2,w)$ と置ける。$OA=OC$ より

であり、これを解くと $w=3\sqrt{15}/10$ である。点 $P$ は $A$ の対蹠点なので

である。

$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ の成分を比較すると

だから

を得る。

(3)

直線 $AP$ 上の点を $\lambda P$、直線 $BC$ 上の点を $(1-\mu )B+\mu C$ と表す。交点 $D$ では

である。第2成分から $\mu =6\lambda /5$、第1成分へ代入して $\lambda =5/14$ を得る。さらに

だから

である。