北海道大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$\overrightarrow{AB}=\vec{u},\overrightarrow{AC}=\vec{v}$$ とおく。条件より$$\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=1,\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=2,\mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{v}-\vec{u}\mathrm{\mid }=\sqrt{6}$$である。したがって $$\mathrm{\mid }\vec{v}-\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{u}\cdot \vec{v}$$ より $$6=4+1-2\vec{u}\cdot \vec{v}$$ である。よって $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\vec{u}\cdot \vec{v}=-\frac{1}{2}$$ である。

(2)
点 $O$ は外接円の中心で、直線 $AO$ と外接円とのもう1つの交点が $P$ である。したがって $AP$ は外接円の直径である。よって円周角の性質から $$\mathrm{\angle }ABP={90}^{\circ },\mathrm{\angle }ACP={90}^{\circ }$$ である。 $$\overrightarrow{AP}=s\vec{u}+t\vec{v}$$ とおく。まず$$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=(s-1)\vec{u}+t\vec{v}$$であり、$$\vec{u}\cdot \overrightarrow{BP}=0$$ だから $$(s-1)\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+t\vec{u}\cdot \vec{v}=0$$ すなわち $s-1-\frac{1}{2}t=0$ である。したがって $s-\frac{1}{2}t=1$ を得る。

同様に$$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}=s\vec{u}+(t-1)\vec{v}$$であり、$$\vec{v}\cdot \overrightarrow{CP}=0$$ だから $$s\vec{u}\cdot \vec{v}+(t-1)\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=0$$ である。よって $-\frac{1}{2}s+4t=4$ を得る。

連立方程式 $$s-\frac{1}{2}t=1,-\frac{1}{2}s+4t=4$$ を解くと $$s=\frac{8}{5},t=\frac{6}{5}$$ である。

(3)
点 $D$ は直線 $AP$ 上にあるので、ある実数 $\lambda$ を用いて$$\overrightarrow{AD}=\lambda \overrightarrow{AP}=\lambda (\frac{8}{5}\vec{u}+\frac{6}{5}\vec{v})$$と書ける。

一方、点 $D$ は直線 $BC$ 上にあるので、ある実数 $\mu$ を用いて$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{BC}=\vec{u}+\mu (\vec{v}-\vec{u})=(1-\mu )\vec{u}+\mu \vec{v}$$と書ける。$\vec{u},\vec{v}$ は一次独立なので係数を比較して $$\frac{8}{5}\lambda =1-\mu ,\frac{6}{5}\lambda =\mu$$ である。2式を加えると $$\frac{14}{5}\lambda =1$$ となるから $\lambda =\frac{5}{14}$ である。

次に $AP$ の長さを求める。$$\overrightarrow{AP}=\frac{8}{5}\vec{u}+\frac{6}{5}\vec{v}$$ だから$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}^2={\left(\frac{8}{5}\right)}^2\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+2\cdot \frac{8}{5}\cdot \frac{6}{5}\vec{u}\cdot \vec{v}+{\left(\frac{6}{5}\right)}^2\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2$$$$=\frac{64}{25}+2\cdot \frac{48}{25}(-\frac{1}{2})+\frac{36}{25}\cdot 4=\frac{32}{5}$$である。したがって $$AD=\lambda AP=\frac{5}{14}\sqrt{\frac{32}{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{7}$$ である。

Aを原点、ABをx軸上に置く。(1)の内積からCの座標を決め、垂直二等分線の交点として外心Oを求める。PはAの対蹠点なのでP=2Oであり、あとは座標比較と2直線の交点計算でs,tとADを得る。

(1)
$A=(0,0),B=(1,0)$ と置く。$C=(u,v)$ とすると$$u^2+v^2=4,(u-1{)}^2+v^2=6$$である。差を取ると $u=-1\mathrm{/}2$ であり、上半平面に $C$ を取れば$$C=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{15}}{2})$$となる。したがって$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(1,0)\cdot (-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{15}}{2})=-\frac{1}{2}$$である。

(2)
辺 $AB$ の垂直二等分線から、外心を $O=(1\mathrm{/}2,w)$ と置ける。$OA=OC$ より$$\frac{1}{4}+w^2={(-1)}^2+{(\frac{\sqrt{15}}{2}-w)}^2$$であり、これを解くと $$w=3\sqrt{15}\mathrm{/}10$$ である。点 $P$ は $A$ の対蹠点なので$$P=2O=(1,\frac{3\sqrt{15}}{5})$$である。$$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$$ の成分を比較すると$$s-\frac{t}{2}=1,\frac{\sqrt{15}}{2}t=\frac{3\sqrt{15}}{5}$$だから$$s=\frac{8}{5},t=\frac{6}{5}$$を得る。

(3)
直線 $AP$ 上の点を $\lambda P$、直線 $BC$ 上の点を $(1-\mu )B+\mu C$ と表す。交点 $D$ では$$\lambda (1,\frac{3\sqrt{15}}{5})=(1-\frac{3\mu }{2},\frac{\sqrt{15}}{2}\mu )$$である。第2成分から $\mu =6\lambda \mathrm{/}5$、第1成分へ代入して $\lambda =5\mathrm{/}14$ を得る。さらに$$A{P}^2=1+{\left(\frac{3\sqrt{15}}{5}\right)}^2=\frac{32}{5}$$だから$$AD=\frac{5}{14}AP=\frac{5}{14}\sqrt{\frac{32}{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{7}$$である。