問題
を正の定数とする。微分可能な関数はすべての実数に対して次の条件を満たしているとする。
さらに，であるとする。
(1) を求めよ。
(2) 曲線と軸および2直線，で囲まれる図形の面積を求めよ。さらに，を求めよ。
出典：北海道大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
解法1
被積分関数はの導関数なので、積分方程式を対数の差に直す。初期値から定数を決め、を解いてを得る。(2)はを指数置換で計算し、の極限はのにおける微分係数として評価する。
解法2（微分方程式と変数変換）
与えられた積分等式を微分し、ロジスティック型の微分方程式を得る。変数分離と初期値でを決め、面積はの置換、最後の極限は区間上の上下評価で処理する。
解答
解法1
(1)
なので、 を考えることができる。微分すると
である。
したがって与えられた等式は と同値である。ここで より である。よって であり、指数を取って を得る。
これを について解くと だから である。したがって である。
(2)
求める面積は である。ここで だから である。よって
である。
次に極限を求める。 であるから、これは関数 の における微分係数である。実際 なので である。
解法2（微分方程式と変数変換）
(1)
与式の両辺を で微分すると
である。 なので変数を分離でき、
となる。 から であるため
を得る。
(2)
と置くと だから
である。
また では
なので、区間 で積分すると
となる。両端は で に近づくから
である。