北海道大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $0<f(x)<1$ なので、$\log \frac{f(x)}{1-f(x)}$ を考えることができる。微分すると$$\frac{d}{dx}\log \frac{f(x)}{1-f(x)}=\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}+\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{1-f(x)}=\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{\{1-f(x)\}f(x)}$$である。

したがって与えられた等式は $$\log \frac{f(x)}{1-f(x)}-\log \frac{f(0)}{1-f(0)}=ax$$ と同値である。ここで $f(0)=\frac{1}{3}$ より $$\frac{f(0)}{1-f(0)}=\frac{1\mathrm{/}3}{2\mathrm{/}3}=\frac{1}{2}$$ である。よって $$\log \frac{f(x)}{1-f(x)}-\log \frac{1}{2}=ax$$ であり、指数を取って $$\frac{f(x)}{1-f(x)}=\frac{1}{2}{e}^{ax}$$ を得る。

これを $f(x)$ について解くと $2f(x)=e^{ax}\{1-f(x)\}$ だから $(e^{ax}+2)f(x)=e^{ax}$ である。したがって $$f(x)=\frac{e^{ax}}{e^{ax}+2}$$ である。

(2)
求める面積は $$S(a)={\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1\frac{e^{ax}}{e^{ax}+2}dx$$ である。ここで $$\frac{d}{dx}\log (e^{ax}+2)=\frac{a{e}^{ax}}{e^{ax}+2}$$ だから $$\int \frac{e^{ax}}{e^{ax}+2}dx=\frac{1}{a}\log (e^{ax}+2)$$ である。よって$$S(a)=\frac{1}{a}{[\log (e^{ax}+2)]}_0^1=\frac{1}{a}\log \frac{e^a+2}{3}$$である。

次に極限を求める。 $$S(a)=\frac{\log (e^a+2)-\log 3}{a}$$ であるから、これは関数 $G(a)=\log (e^a+2)$ の $a=0$ における微分係数である。実際 $$G^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{e^a}{e^a+2}$$ なので $$\underset{a\to +0}{\lim }S(a)=G^{\mathrm{\prime }}(0)=\frac{1}{3}$$ である。

与えられた積分等式を微分し、ロジスティック型の微分方程式$f^{\mathrm{\prime }}=af(1-f)$を得る。変数分離と初期値で$f$を決め、面積は$u=f(x)$の置換、最後の極限は区間上の上下評価で処理する。

(1)
与式の両辺を $x$ で微分すると$$\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{\{1-f(x)\}f(x)}=a,f^{\mathrm{\prime }}(x)=af(x)\{1-f(x)\}$$である。$0<f<1$ なので変数を分離でき、$$\frac{f^{\mathrm{\prime }}}{f(1-f)}=a,\log \frac{f(x)}{1-f(x)}=ax+C$$となる。$f(0)=1\mathrm{/}3$ から $C=\log (1\mathrm{/}2)$ であるため$$\frac{f(x)}{1-f(x)}=\frac{1}{2}{e}^{ax},f(x)=\frac{e^{ax}}{e^{ax}+2}$$を得る。

(2)
$u=f(x)$ と置くと $du=au(1-u)dx$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle =\frac{1}{a}{\int }_{1\mathrm{/}3}^{f(1)}\frac{du}{1-u}=\frac{1}{a}\log \frac{2\mathrm{/}3}{1-f(1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{a}\log \frac{e^a+2}{3}}\end{array}$$である。

また $a>0,0\leqq x\leqq 1$ では$$\frac{1}{3}\leqq \frac{e^{ax}}{e^{ax}+2}\leqq \frac{e^a}{e^a+2}$$なので、区間 $[0,1]$ で積分すると$$\frac{1}{3}\leqq S(a)\leqq \frac{e^a}{e^a+2}$$となる。両端は $a\to +0$ で $1\mathrm{/}3$ に近づくから$$\underset{a\to +0}{\lim }S(a)=\frac{1}{3}$$である。