Evolton
方針
(1) は直線をと直し、一次不定方程式の整数解を求める。(2)では一般解を距離の2乗に代入し、整数mで最小・次小となる点A,Bを決める。三角形ABCは斜辺ABが元の直線、BCが水平、ACが垂直な直角三角形になるので、格子点はx座標ごとに下端の整数を切り上げて数える。別解として、A,B,Cが格子点であることからPickの定理で内部点と境界点を分けて総数を求めることもできる。
解答
(1)
2点 , を通る直線は、切片の形で と表せる。したがって である。
格子点を求めるには、この一次不定方程式の整数解を求めればよい。9を法として見ると であり、 だから である。 より である。よって と書ける。これを に代入すると である。したがって求める格子点は である。
(2)
(1)の格子点と原点との距離の2乗は である。展開すると である。この二次式の軸は であり、 にある。したがって整数 で最小となる候補は と である。
実際に値を比べると であるから、最小となる点は である。また次に小さいのは の点で、 である。したがって問題文の定義より である。
三角形 は、 が水平、 が垂直である。斜辺 はもとの直線 上にあるので、三角形内および周上の点は をみたす。
整数 を と動かして数える。各 に対して、整数 の個数は である。順に書くと である。したがって求める格子点の個数は である。
別解。最後の数え上げはPickの定理でも確認できる。三角形 は底辺 、高さ の直角三角形なので面積は である。境界上の格子点数は、 では 個、 では10個、 では17個であり、頂点の重複を引くと 個である。Pickの定理より内部の格子点数は であるから、内部および周上の格子点数は である。
別解
解法2（一次不定方程式とPickの定理）
方針
拡張された互除法の等式から格子点の一般形を直ちに作る。原点からの距離は隣り合う候補を比較してA,Bを決める。三角形の面積と各辺上の格子点数を求め、Pickの定理から内部点と境界点の総数を出す。
解答
(1)
直線の方程式はである。 だから は1つの整数解である。任意の整数 に対しても解となる。逆に、2つの整数解の差は を満たし、 は互いに素なので と書ける。したがってこれがすべての格子点である。
(2)
原点からの距離の2乗はである。軸は なので、最小候補は である。値はそれぞれ であり、さらに外側の整数では増加する。よってである。
三角形 は直角三角形で、その面積はである。線分 の座標差は で互いに素だから、 上の格子点は両端の2個だけである。 上は10個、 上は17個なので、境界上の格子点数 はである。内部の格子点数を とすると、Pickの定理よりだから である。したがって内部および周上の格子点は個である。
総評
一次不定方程式と格子点数え上げを組み合わせる問題。目安時間は18分。(1)はに直して合同式で一般解を出す。(2)は距離の2乗をmの二次式として扱い、最小点Aと次小点Bを確定するところまでが前半の山である。三角形内の格子点はx座標ごとの直接数え上げが高校範囲では安全だが、格子点三角形なのでPickの定理による検算も有効である。