問題
を2以上の自然数とする。1個のさいころを続けて回投げる試行を行い，出た目を順にとする。
(1) の最大公約数が3となる確率をの式で表せ。
(2) の最大公約数が1となる確率をの式で表せ。
(3) の最小公倍数が20となる確率をの式で表せ。
方針
解法1
(1)(2)は文系第3問と同じく、最大公約数を共通素因数の条件として数える。(3)では最小公倍数が20になるためには、すべての出目が20の約数である必要がある。さいころで使える約数は1,2,4,5であり、なので、4が少なくとも1回、5が少なくとも1回出る条件を包除で数える。
解法2（最大公約数の分割と最初の特別な目）
(1)(2)は最大公約数2〜6の出方を互いに重ならない組へ分ける。(3)は4と5のうち最初に現れる方の位置を固定する。その位置より前は1,2だけで、後ろには反対側の目が少なくとも1回必要になるため、位置ごとの和として数えられる。
解答
解法1
(1)
最大公約数が3となるには、すべての出目が3の倍数である必要がある。さいころの目で3の倍数は である。ただし、すべての出目が6なら最大公約数は6になるので除く必要がある。
したがって条件をみたす出方は 通りである。全体は 通りだから、求める確率は である。
(2)
最大公約数が1でない場合を余事象として数える。共通の素因数は2,3,5のいずれかである。
すべての出目が2の倍数である出方は、各回が の3通りなので 通りである。すべての出目が3の倍数である出方は、各回が の2通りなので 通りである。すべての出目が5の倍数である出方は、すべて5の1通りである。
2の倍数と3の倍数の重なりは、すべて6である1通りである。5は2や3の倍数と重ならないので、最大公約数が1でない出方は 通りである。よって最大公約数が1となる確率は である。
(3)
最小公倍数が20となるには、まずすべての出目が20の約数でなければならない。さいころの目の中で20の約数であるものは である。
さらに、最小公倍数が20になるには、素因数分解 の と が両方現れる必要がある。上の4種類の出目の中で を含むのは4だけであり、5を含むのは5だけである。したがって、4が少なくとも1回、5が少なくとも1回出ることが必要十分である。
出目を に限ると全体は 通りである。このうち4が出ないものは 通り、5が出ないものも 通りである。4も5も出ないものは だけなので 通りである。包除により条件をみたす出方は 通りである。
したがって求める確率は である。
解法2（最大公約数の分割と最初の特別な目）
(1)
最大公約数が3である出方は、各回が のいずれかで、すべて6ではない出方である。したがって確率は
である。
(2)
最大公約数が2である出方は、各回が のいずれかで、すべて4とすべて6を除いた 通りである。最大公約数が3,4,5,6である出方は、それぞれ
通りである。これらは互いに重ならないから、最大公約数が1でない出方は合計 通りである。よって求める確率は
となる。
(3)
最小公倍数が20であるための必要十分条件は、すべての目が のいずれかで、4と5が少なくとも1回ずつ現れることである。
4と5のうち、最初に現れる位置を とする 。それより前の 回は の2通り、 回目は4か5の2通りである。残る 回は の4通りから選ぶが、 回目と反対の目を少なくとも1回含まなければならないので、その数は
である。したがって条件をみたす出方は
通りである。等比数列の和を用いると
だから、出方の総数は
となる。よって確率は
である。