北海道大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
最大公約数が3となるには、すべての出目が3の倍数である必要がある。さいころの目で3の倍数は $3,6$ である。ただし、すべての出目が6なら最大公約数は6になるので除く必要がある。

したがって条件をみたす出方は $2^n-1$ 通りである。全体は $6^n$ 通りだから、求める確率は $\frac{2^n-1}{6^n}$ である。

(2)
最大公約数が1でない場合を余事象として数える。共通の素因数は2,3,5のいずれかである。

すべての出目が2の倍数である出方は、各回が $2,4,6$ の3通りなので $3^n$ 通りである。すべての出目が3の倍数である出方は、各回が $3,6$ の2通りなので $2^n$ 通りである。すべての出目が5の倍数である出方は、すべて5の1通りである。

2の倍数と3の倍数の重なりは、すべて6である1通りである。5は2や3の倍数と重ならないので、最大公約数が1でない出方は $3^n+2^n+1-1=3^n+2^n$ 通りである。よって最大公約数が1となる確率は $\frac{6^n-3^n-2^n}{6^n}$ である。

(3)
最小公倍数が20となるには、まずすべての出目が20の約数でなければならない。さいころの目の中で20の約数であるものは $1,2,4,5$ である。

さらに、最小公倍数が20になるには、素因数分解 $20=2^2\cdot 5$ の $2^2$ と $5$ が両方現れる必要がある。上の4種類の出目の中で $2^2$ を含むのは4だけであり、5を含むのは5だけである。したがって、4が少なくとも1回、5が少なくとも1回出ることが必要十分である。

出目を $1,2,4,5$ に限ると全体は $4^n$ 通りである。このうち4が出ないものは $3^n$ 通り、5が出ないものも $3^n$ 通りである。4も5も出ないものは $1,2$ だけなので $2^n$ 通りである。包除により条件をみたす出方は $4^n-2\cdot 3^n+2^n$ 通りである。

したがって求める確率は $\frac{4^n-2\cdot 3^n+2^n}{6^n}$ である。

(1) (2)は最大公約数2〜6の出方を互いに重ならない組へ分ける。(3)は4と5のうち最初に現れる方の位置を固定する。その位置より前は1,2だけで、後ろには反対側の目が少なくとも1回必要になるため、位置ごとの和として数えられる。

(1)
最大公約数が3である出方は、各回が $3,6$ のいずれかで、すべて6ではない出方である。したがって確率は$$\frac{2^n-1}{6^n}$$である。

(2)
最大公約数が2である出方は、各回が $2,4,6$ のいずれかで、すべて4とすべて6を除いた $3^n-2$ 通りである。最大公約数が3,4,5,6である出方は、それぞれ$$2^n-1,1,1,1$$通りである。これらは互いに重ならないから、最大公約数が1でない出方は合計 $3^n+2^n$ 通りである。よって求める確率は$$\frac{6^n-3^n-2^n}{6^n}$$となる。

(3)
最小公倍数が20であるための必要十分条件は、すべての目が $1,2,4,5$ のいずれかで、4と5が少なくとも1回ずつ現れることである。

4と5のうち、最初に現れる位置を $j$ とする $(1\leqq j\leqq n-1)$。それより前の $j-1$ 回は $1,2$ の2通り、$j$ 回目は4か5の2通りである。残る $n-j$ 回は $1,2,4,5$ の4通りから選ぶが、$j$ 回目と反対の目を少なくとも1回含まなければならないので、その数は$$4^{n-j}-3^{n-j}$$である。したがって条件をみたす出方は$$2\sum _{j=1}^{n-1}{2}^{j-1}(4^{n-j}-3^{n-j})$$通りである。等比数列の和を用いると$$\sum _{j=1}^{n-1}{2}^{j-1}{4}^{n-j}=2\cdot 4^{n-1}-2^n,\sum _{j=1}^{n-1}{2}^{j-1}{3}^{n-j}=3^n-3\cdot 2^{n-1}$$だから、出方の総数は$$4^n-2\cdot 3^n+2^n$$となる。よって確率は$$\frac{4^n-2\cdot 3^n+2^n}{6^n}$$である。