北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

放物線 $C:y=x^2$ と直線 $l:y=(1-k)x+k$ の交点は $x^2=(1-k)x+k$ より $$x^2-(1-k)x-k=0,(x-1)(x+k)=0$$ である。したがって交点の $x$ 座標は $-k,1$ である。$k>-1$ より $-k<1$ である。 $-k<x<1$ では $$(1-k)x+k-x^2=-(x-1)(x+k)>0$$ なので，直線が放物線より上にある。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle ={\int }_{-k}^1\{(1-k)x+k-x^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-k}^1(1-x)(x+k)dx\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $u=x+k$ とおくと，$x=-k$ で $u=0$，$x=1$ で $u=k+1$ であり，$(1-x)(x+k)=\{(k+1)-u\}u$ だから$$S_1={\int }_0^{k+1}\{(k+1)u-u^2\}du=\frac{(k+1{)}^3}{6}$$である。

(2) $1<x\leqq 2$ では $(x-1)(x+k)>0$ であり，$$x^2-\{(1-k)x+k\}=(x-1)(x+k)>0$$ だから，放物線が直線より上にある。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_2}& {\displaystyle ={\int }_1^2\{x^2-((1-k)x+k)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_1^2\{x^2-x+kx-k\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+\frac{k{x}^2}{2}-kx]}_1^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5}{6}+\frac{k}{2}=\frac{3k+5}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

(1) (2) より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_2-S_1}& {\displaystyle =\frac{3k+5-(k+1{)}^3}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{-k^3-3k^2+4}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{(k-1)(k+2{)}^2}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$これを $D(k)$ とおくと，$D^{\mathrm{\prime }}(k)=-\frac{1}{2}k(k+2)$ である。$k>-1$ において，$-1<k<0$ では $D^{\mathrm{\prime }}(k)>0$，$k>0$ では $D^{\mathrm{\prime }}(k)<0$ である。したがって $D(k)$ は $k=0$ で最大となる。最大値は $$D(0)=\frac{2}{3}$$ である。

交点から $S_1,S_2$ を求めるところまでは同じである。面積差を $k+2$ の式に直し，最大候補との差を平方因子に分解することで，微分を使わずに最大値と等号条件を同時に決める。

(1)
交点方程式は$$x^2=(1-k)x+k⟺(x-1)(x+k)=0.$$$k>-1$ より $-k<1$ であり，この区間では直線が放物線より上にある。したがって$$S_1={\int }_{-k}^1(1-x)(x+k)dx=\frac{(k+1{)}^3}{6}\mathrm{.}$$(2)
$1<x\leqq 2$ では放物線が直線より上にあるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_2}& {\displaystyle ={\int }_1^2\{x^2-(1-k)x-k\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3k+5}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
以上から$$S_2-S_1=-\frac{(k-1)(k+2{)}^2}{6}\mathrm{.}$$ここで $t=k+2$ とおくと，$k>-1$ より $t>1$ であり，$$S_2-S_1=\frac{3t^2-t^3}{6}\mathrm{.}$$この式と ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ との差を取ると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{2}{3}-(S_2-S_1)}& {\displaystyle =\frac{t^3-3t^2+4}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(t-2{)}^2(t+1)}{6}\geqq 0.}\end{array}$$$t>1$ では $t+1>0$ なので，等号は $t=2$，すなわち $k=0$ のときに限る。よって$$\max (S_2-S_1)=\frac{2}{3}$$である。