問題
をを満たす実数とする。直線および放物線を考える。とで囲まれた部分の面積をとし，とと直線の3つで囲まれた部分の面積をとする。
(1) をを用いて表せ。
(2) をを用いて表せ。
(3) がを満たしながら動くとき，の最大値を求めよ。
出典：北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
解法1（面積差を微分して最大化する方法）
まず放物線と直線の交点を求め， から交点の順序が であることを確認する。 はこの2交点間で直線が上，放物線が下になる面積であり， は で放物線が上，直線が下になる面積である。差 は因数分解して の関数として最大化する。微分で増減を見る方法に加え，因数分解後の不等式でも最大値を確認できる。
解法2（平方因子で最大値を直接評価する方法）
交点から を求めるところまでは同じである。面積差を の式に直し，最大候補との差を平方因子に分解することで，微分を使わずに最大値と等号条件を同時に決める。
解答
解法1（面積差を微分して最大化する方法）
(1)
放物線 と直線 の交点は より である。したがって交点の 座標は である。 より である。 では なので，直線が放物線より上にある。よって
ここで とおくと， で ， で であり， だから
である。
(2)
では であり， だから，放物線が直線より上にある。したがって
(3)
(1)(2) より
これを とおくと， である。 において， では ， では である。したがって は で最大となる。最大値は である。
解法2（平方因子で最大値を直接評価する方法）
(1)
交点方程式は
より であり，この区間では直線が放物線より上にある。したがって
(2)
では放物線が直線より上にあるから
(3)
以上から
ここで とおくと， より であり，
この式と との差を取ると
では なので，等号は ，すなわち のときに限る。よって
である。