北海道大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$t=\sin (x+\frac{\pi }{6})$$ とおく。まず $$x+\frac{2\pi }{3}=x+\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2}$$ であるから，$$\sin (x+\frac{2\pi }{3})=\cos (x+\frac{\pi }{6})$$ である。したがって$${\sin }^2(x+\frac{2\pi }{3})={\cos }^2(x+\frac{\pi }{6})=1-t^2$$である。

また $$2x+\frac{\pi }{3}=2(x+\frac{\pi }{6})$$ なので，倍角の公式より$$\cos (2x+\frac{\pi }{3})=\cos \left(2(x+\frac{\pi }{6})\right)=1-2{\sin }^2(x+\frac{\pi }{6})=1-2t^2$$である。

(2)

(1) の結果を $f(x)$ に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =\sqrt{3}t+2(1-t^2)+4(1-2t^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{3}t+6-10t^2}\end{array}$$である。したがって $f(x)=0$ は $10t^2-\sqrt{3}t-6=0$ となる。これを解くと $$(2t-\sqrt{3})(5t+2\sqrt{3})=0$$ より $$t=\frac{\sqrt{3}}{2},t=-\frac{2\sqrt{3}}{5}$$ である。

ここで $0\leqq x\leqq \pi$ だから $$\frac{\pi }{6}\leqq x+\frac{\pi }{6}\leqq \frac{7\pi }{6}$$ である。この範囲で $\sin$ が負になるのは $$\pi <x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$$ の部分であり，その値は $$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq \sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})<0$$ である。一方 $$-\frac{2\sqrt{3}}{5}<-\frac{1}{2}$$ なので，$$t=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{5}}$$ はこの範囲では実現しない。

よって $$\sin (x+\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ だけを考えればよい。$${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$$ において，これは $$x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$$ を与える。したがって $$x=\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}$$ である。