北海道大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $f(x)=x^4+6x^3-24x^2$ より $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3+18x^2-48x$ であり，$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x^2+36x-48=12(x+4)(x-1)$$ である。$x=-4,1$ の前後で $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は変わるので，どちらも変曲点を与える。

それぞれの $y$ 座標は $$f(-4)=(-4{)}^4+6(-4{)}^3-24(-4{)}^2=-512$$ および $f(1)=1+6-24=-17$ である。したがって変曲点は $(-4,-512),(1,-17)$ である。

(2)

(1) の変曲点のうち $x$ 座標が最大のものは $P=(1,-17)$ である。接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(1)=4+18-48=-26$ であるから，接線 $l$ は $y+17=-26(x-1)$ すなわち $y=-26x+9$ である。

(3)

接線を $l(x)=-26x+9$ とおく。曲線と接線の差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-l(x)}& {\displaystyle =x^4+6x^3-24x^2+26x-9}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-1{)}^3(x+9)}\end{array}$$である。したがって交点の $x$ 座標は $x=-9,1$ である。$-9<x<1$ では $(x-1{)}^3<0$，$x+9>0$ だから $f(x)-l(x)<0$ であり，接線が曲線より上にある。

よって求める面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-9}^1\{l(x)-f(x)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\int }_{-9}^1(x-1{)}^3(x+9)dx}\end{array}$$である。$u=x-1$ とおくと，$x=-9$ で $u=-10$，$x=1$ で $u=0$，また $x+9=u+10$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =-{\int }_{-10}^0{u}^3(u+10)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\int }_{-10}^0(u^4+10u^3)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-\frac{u^5}{5}-\frac{5}{2}{u}^4]}_{-10}^0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5000.}\end{array}$$したがって面積は $5000$ である。

変曲点と接線を求め，差を $(x-1{)}^3(x+9)$ と因数分解する。面積積分では $t=(x+9)\mathrm{/}10$ と置いて区間 $[-9,1]$ を $[0,1]$ に移し，端点で消える因子を簡単な多項式として積分する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12(x+4)(x-1)$$は $x=-4,1$ のそれぞれで符号を変える。したがって変曲点は$$(-4,-512),(1,-17)$$である。

(2)
$P=(1,-17)$ であり，$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-26$ だから$$l:y=-26x+9$$である。

(3)
曲線と接線の差は$$f(x)-l(x)=(x-1{)}^3(x+9)\mathrm{.}$$したがって交点は $x=-9,1$ にあり，その間では接線が上である。面積 $S$ は$$S={\int }_{-9}^1(1-x{)}^3(x+9)dx\mathrm{.}$$ここで$$t=\frac{x+9}{10}$$とおくと，$x=-9,1$ はそれぞれ $t=0,1$ に対応し，$$x+9=10t,1-x=10(1-t),dx=10dt$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={10}^5{\int }_0^{1}t(1-t{)}^{3}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={10}^5{\int }_0^1(t-3t^2+3t^3-t^4)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={10}^5(\frac{1}{2}-1+\frac{3}{4}-\frac{1}{5})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5000.}\end{array}$$