問題
とし，曲線を考える。
(1) の変曲点をすべて求めよ。
(2) の変曲点のうち座標の値が最大のものをとする。におけるの接線の方程式を求めよ。
(3) と(2)の接線で囲まれた部分の面積を求めよ。
出典：北海道大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
解法1（曲線と接線の差を因数分解する方法）
変曲点は かつ符号が変わる点として求める。最大の 座標をもつ変曲点 が決まったら， から接線を出す。面積では，曲線と接線の交点を調べるために を因数分解する。接点 は重なって現れるので，もう一つの交点 を見つけ，区間内の上下関係を確認して積分する。
解法2（交点区間を 0 から 1 に縮尺する方法）
変曲点と接線を求め，差を と因数分解する。面積積分では と置いて区間 を に移し，端点で消える因子を簡単な多項式として積分する。
解答
解法1（曲線と接線の差を因数分解する方法）
(1)
より であり， である。 の前後で の符号は変わるので，どちらも変曲点を与える。
それぞれの 座標は および である。したがって変曲点は である。
(2)
(1) の変曲点のうち 座標が最大のものは である。接線の傾きは であるから，接線 は すなわち である。
(3)
接線を とおく。曲線と接線の差は
である。したがって交点の 座標は である。 では ， だから であり，接線が曲線より上にある。
よって求める面積 は
である。 とおくと， で ， で ，また であるから
したがって面積は である。
解法2（交点区間を 0 から 1 に縮尺する方法）
(1)
は のそれぞれで符号を変える。したがって変曲点は
である。
(2)
であり， だから
である。
(3)
曲線と接線の差は
したがって交点は にあり，その間では接線が上である。面積 は
ここで
とおくと， はそれぞれ に対応し，
である。よって