北海道大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

整数 $m$ は偶数または奇数である。$m$ が偶数なら $m=2r$ と書けるので $m^2=4r^2$ となり，$m^2$ は $4$ で割って $0$ 余る。 $m$ が奇数なら $m=2r+1$ と書けるので $$m^2=(2r+1{)}^2=4r^2+4r+1=4r(r+1)+1$$ となり，$m^2$ は $4$ で割って $1$ 余る。したがって整数 $m$ に対して，$m^2$ を $4$ で割った余りは $0$ または $1$ である。

(2)

関係式 $25\cdot 3^n=k^2+176$ を $4$ で割った余りで考える。$25\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$，$176\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ であるから $3^n\equiv k^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ である。

もし $n$ が奇数なら，$3\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ より $3^n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ である。しかし (1) より平方数 $k^2$ は $4$ で割って $0$ または $1$ しか余らない。これは矛盾である。したがって $n$ は偶数である。

(3)

(2) より $n$ は偶数であるから，$n=2m$ とおける。ただし $n$ は自然数なので $m$ は自然数である。このとき $$25\cdot 3^n=25\cdot 3^{2m}=(5\cdot 3^m{)}^2$$ である。よって (＊) は $(5\cdot 3^m{)}^2-k^2=176$ すなわち $$(5\cdot 3^m-k)(5\cdot 3^m+k)=176$$ となる。 $k$ は自然数なので，両因数は正である。また2つの因数の和は $$(5\cdot 3^m-k)+(5\cdot 3^m+k)=10\cdot 3^m$$ で偶数である。積 $176$ も偶数なので，2つの因数はともに偶数でなければならない。

正の偶数の因数対 $(5\cdot 3^m-k,5\cdot 3^m+k)$ として可能なのは $(2,88),(4,44),(8,22)$ である。それぞれの和は $90,48,30$ であり，これが $10\cdot 3^m$ に等しくなければならない。したがって $$10\cdot 3^m=90\text{または}10\cdot 3^m=30$$ だけが可能である。 $(2,88)$ のとき，$10\cdot 3^m=90$ より $3^m=9$，したがって $m=2$ である。また $2k=88-2=86$ より $k=43$ である。よって $(n,k)=(4,43)$ を得る。 $(8,22)$ のとき，$10\cdot 3^m=30$ より $3^m=3$，したがって $m=1$ である。また $2k=22-8=14$ より $k=7$ である。よって $(n,k)=(2,7)$ を得る。

以上より，求める自然数の組は $$(n,k)=(2,7),(4,43)$$ である。