問題
をを満たす実数とし，平面上の点と点を
で定める。を線分の中点とし，を原点とする。
(1) とを求めよ。
(2) 3点，，は同一直線上にあることを示せ。
(3) となるようなの値を求めよ。
出典：北海道大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
解法1（共通方向ベクトルで位置関係を読む方法）
複雑な座標に見えるが， と中点 を計算すると，どちらも の向きに整理できる。 が と平行であることから，直線 が原点を通ると分かる。最後は同一直線上で が の中点であることを使い， と を の倍数で表して を決める。
解法2（長さを先に定数化する方法）
差と中点から共通方向ベクトル を作る。その長さを計算すると ， と簡単になる。共線性と中点の位置関係から として条件を解く。
解答
解法1（共通方向ベクトルで位置関係を読む方法）
(1)
座標を差し引くと
である。
また は の中点であるから，座標を足して2で割ると
である。
(2)
(1) より
であり，
である。したがって である。 より なので，これは と が平行であることを示している。
点 は直線 上にあり， は直線 と平行である。よって原点 も直線 上にある。したがって3点 は同一直線上にある。
(3)
であり， は の中点である。 と同じ向きの単位を使って直線上の位置を表すと，
である。したがって
である。また である。
条件 より である。したがって となる。 だから である。
解法2（長さを先に定数化する方法）
(1)
座標を差し引き，また平均を取ると
である。
(2)
より であり，
したがって は と平行である。一方， は直線 上にあるので，直線 と直線 は一致する。よって は同一直線上にある。
(3)
とおく。このとき
したがって
は の中点なので である。また上の正の係数関係から，直線上では の順に並ぶ。よって
条件 より
したがって
である。