北海道大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

座標を差し引くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{PQ}}& {\displaystyle =(\cos \theta -\sqrt{3}\sin \theta ,\sqrt{3}\cos \theta +\sin \theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos \theta (1-\sqrt{3}\tan \theta ,\sqrt{3}+\tan \theta )}\end{array}$$である。

また $M$ は $P,Q$ の中点であるから，座標を足して2で割ると$$\overrightarrow{OM}=(\frac{1-\sqrt{3}\tan \theta }{2},\frac{\sqrt{3}+\tan \theta }{2})$$である。

(2)

(1) より$$\overrightarrow{PQ}=\cos \theta (1-\sqrt{3}\tan \theta ,\sqrt{3}+\tan \theta )$$であり，$$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(1-\sqrt{3}\tan \theta ,\sqrt{3}+\tan \theta )$$である。したがって $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2\cos \theta }\overrightarrow{PQ}$$ である。$$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ より $\cos \theta >0$ なので，これは $\overrightarrow{OM}$ と $\overrightarrow{PQ}$ が平行であることを示している。

点 $M$ は直線 $PQ$ 上にあり，$\overrightarrow{OM}$ は直線 $PQ$ と平行である。よって原点 $O$ も直線 $PQ$ 上にある。したがって3点 $O,P,Q$ は同一直線上にある。

(3) $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2\cos \theta }\overrightarrow{PQ}$$ であり，$M$ は $PQ$ の中点である。$\overrightarrow{PQ}$ と同じ向きの単位を使って直線上の位置を表すと，$$M=\frac{1}{2\cos \theta }\overrightarrow{PQ},P=M-\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$$である。したがって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }=(\frac{1}{2\cos \theta }-\frac{1}{2})\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }$$である。また $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PM}\mathrm{\mid }=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }$$ である。

条件 $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{PM}\mathrm{\mid }$$ より $$\frac{1}{2\cos \theta }-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$ である。したがって $$\frac{1}{2\cos \theta }=1,\cos \theta =\frac{1}{2}$$ となる。$$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ だから $$\theta =\frac{\pi }{3}$$ である。

差と中点から共通方向ベクトル $\mathit{v}$ を作る。その長さを計算すると $\mathrm{\mid }PQ\mathrm{\mid }=2$，$\mathrm{\mid }OM\mathrm{\mid }=1\mathrm{/}\cos \theta$ と簡単になる。共線性と中点の位置関係から $\mathrm{\mid }OP\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }OM\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }PM\mathrm{\mid }$ として条件を解く。

(1)
座標を差し引き，また平均を取ると$$\overrightarrow{PQ}=\cos \theta (1-\sqrt{3}\tan \theta ,\sqrt{3}+\tan \theta ),$$$$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(1-\sqrt{3}\tan \theta ,\sqrt{3}+\tan \theta )$$である。

(2)
$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ より $\cos \theta >0$ であり，$$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2\cos \theta }\overrightarrow{PQ}\mathrm{.}$$したがって $OM$ は $PQ$ と平行である。一方，$M$ は直線 $PQ$ 上にあるので，直線 $OM$ と直線 $PQ$ は一致する。よって $O,P,Q$ は同一直線上にある。

(3) $$\mathit{v}=(1-\sqrt{3}\tan \theta ,\sqrt{3}+\tan \theta )$$とおく。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\mathit{v}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(1-\sqrt{3}\tan \theta {)}^2+(\sqrt{3}+\tan \theta {)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(1+{\tan }^2\theta )=\frac{4}{{\cos }^2\theta }\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\mathrm{\mid }PQ\mathrm{\mid }=\cos \theta \mathrm{\mid }\mathit{v}\mathrm{\mid }=2,\mathrm{\mid }OM\mathrm{\mid }=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\mathit{v}\mathrm{\mid }=\frac{1}{\cos \theta }\mathrm{.}$$$M$ は $PQ$ の中点なので $\mathrm{\mid }PM\mathrm{\mid }=1$ である。また上の正の係数関係から，直線上では $O,P,M,Q$ の順に並ぶ。よって$$\mathrm{\mid }OP\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }OM\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }PM\mathrm{\mid }=\frac{1}{\cos \theta }-1.$$条件 $\mathrm{\mid }OP\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }PM\mathrm{\mid }=1$ より$$\frac{1}{\cos \theta }-1=1,\cos \theta =\frac{1}{2}\mathrm{.}$$したがって$$\theta =\frac{\pi }{3}$$である。