北海道大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $A_{10}$ が起こるとは，9枚目までに4種類すべては現れず，10枚目で初めて4種類がそろうということである。10枚目まで現れない番号があるなら，その番号のカードはすべて10枚目以降に残っていなければならない。しかし10枚目以降の位置は10枚目の1か所だけなので，そのような番号はカードが1枚しかない番号1に限られる。

したがって $A_{10}$ は「番号1のカードが10枚目に引かれる」ことと同値である。番号1のカードの位置は10か所のうち等確率なので $P(A_{10})=\frac{1}{10}$ である。

(2) $A_9\cap B_1$ は，9枚目で初めて4種類がそろい，その9枚目のカードが番号1である事象である。番号1のカードは1枚だけなので，これは番号1のカードが9枚目にあることと同値である。

実際，番号1が9枚目にあるとき，最初の8枚は番号2,3,4のカードから8枚引かれている。番号2,3,4のカードは合計9枚あり，その内訳は2枚，3枚，4枚であるから，そこから1枚だけ残して8枚を引けば，番号2,3,4はすべて少なくとも1枚ずつ現れている。したがって9枚目の番号1で初めて4種類がそろう。

よって $$P(A_9\cap B_1)=\frac{1}{10}$$ である。

(3)

まず $A_9$ が起こる場合を分類する。8枚目までに現れていない番号のカードは，9枚目と10枚目の位置にすべて残っていなければならない。したがって，その番号のカード枚数は高々2枚である。可能なのは番号1または番号2だけである。

番号1が9枚目で初めて現れる場合の確率は，(2) より $\frac{1}{10}$ である。番号2が9枚目で初めて現れる場合は，番号2の2枚のカードが9枚目と10枚目に入っている場合である。番号2のカードが入る2つの位置は ${}_{10}{\mathrm{C}}_2$ 通りが等確率なので，その確率は $$\frac{1}{{}_{10}{\mathrm{C}}_2}=\frac{1}{45}$$ である。このとき最初の8枚には番号1,3,4がすべて現れているので，確かに9枚目で初めて4種類がそろう。

したがって $$P(A_9)=\frac{1}{10}+\frac{1}{45}=\frac{11}{90}$$ である。求める条件付き確率は$$P(B_1\mid A_9)=\frac{P(A_9\cap B_1)}{P(A_9)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{11}{90}}=\frac{9}{11}$$である。