北海道大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $x<0$ のとき、$x<0\leqq a\leqq b\leqq 1$ だから $$x(x-1)>0,(x-a)(x-b)>0$$ である。よって $$f(x)=x(x-1)+(x-a)(x-b)=2x^2-(1+a+b)x+ab$$ である。ここで $x<0$ なので $2x^2>0$ かつ $-(1+a+b)x>0$ であり、$f(x)>ab=f(0)\geqq m$ となる。

次に $x>1$ のときも、$x(x-1)>0$、$(x-a)(x-b)>0$ であるから同じく $f(x)=2x^2-(1+a+b)x+ab$ である。この式を $F(x)$ とおくと $F^{\mathrm{\prime }}(x)=4x-(1+a+b)$ であり、$x>1$、$a+b\leqq 2$ より $F^{\mathrm{\prime }}(x)>4-(1+a+b)\geqq 1>0$ である。したがって $x>1$ では $F(x)>F(1)$ であり、$f(x)>f(1)\geqq m$ となる。

(2)
(1) より、最小値は $0\leqq x\leqq 1$ の範囲で考えればよい。 $0\leqq x\leqq a$ では $x(x-1)\leqq 0,(x-a)(x-b)\geqq 0$ なので $$f(x)=-x(x-1)+(x-a)(x-b)=(1-a-b)x+ab$$ である。これは一次関数だから、この区間での最小値は端点 $x=0,a$ のいずれかでとる。 $a\leqq x\leqq b$ では $x(x-1)\leqq 0,(x-a)(x-b)\leqq 0$ なので $$f(x)=-x(x-1)-(x-a)(x-b)=-2x^2+(1+a+b)x-ab$$ である。これは上に凸の2次関数であるから、この区間での最小値は端点 $x=a,b$ のいずれかでとる。 $b\leqq x\leqq 1$ では $x(x-1)\leqq 0,(x-a)(x-b)\geqq 0$ なので、再び $f(x)=(1-a-b)x+ab$ であり、最小値は端点 $x=b,1$ のいずれかでとる。

したがって $[0,1]$ での最小値は $f(0),f(a),f(b),f(1)$ のいずれかである。ここで $$f(0)=ab,f(1)=(1-a)(1-b),$$ $$f(a)=a(1-a),f(b)=b(1-b)$$ である。 $a+b\leqq 1$ なら、$b\leqq 1-a$ かつ $a\leqq 1-b$ であるから $$ab\leqq a(1-a),ab\leqq b(1-b)$$ である。よってこの場合は $f(0)$ が $f(a),f(b)$ 以下である。 $a+b\geqq 1$ なら、$1-b\leqq a$ かつ $1-a\leqq b$ であるから $$(1-a)(1-b)\leqq a(1-a),(1-a)(1-b)\leqq b(1-b)$$ である。よってこの場合は $f(1)$ が $f(a),f(b)$ 以下である。

以上より、最小値 $m$ は必ず $$m=f(0)\text{または}m=f(1)$$ である。

(3)
(2) より $m=\min \{ab,(1-a)(1-b)\}$ である。 $a+b\leqq 1$ のときは $ab\leqq (1-a)(1-b)$ なので $m=ab$ である。このとき $b\leqq 1-a$ だから $$m=ab\leqq a(1-a)\leqq \frac{1}{4}$$ である。 $a+b\geqq 1$ のときは $(1-a)(1-b)\leqq ab$ なので $m=(1-a)(1-b)$ である。$u=1-b$、$v=1-a$ とおくと、$0\leqq u\leqq v$ かつ $u+v\leqq 1$ であり、$m=uv\leqq \frac{1}{4}$ である。

一方、$a=b=\frac{1}{2}$ とすると $f(0)=f(1)=\frac{1}{4}$ であり、(2) より $m=\frac{1}{4}$ である。したがって $m$ の最大値は $\frac{1}{4}$ である。

$a+b\leqq 1$ の場合に $f(x)\geqq ab$ を区間ごとに直接示す。$a+b\geqq 1$ は $(x,a,b)\mapsto (1-x,1-b,1-a)$ の対称性で前者へ帰着する。最大値は2候補の積による上界で一度に評価する。

(1)
$x<0$ では$$f(x)=2x^2-(1+a+b)x+ab>ab=f(0)\geqq m\mathrm{.}$$次に$$x^{\mathrm{\prime }}=1-x,a^{\mathrm{\prime }}=1-b,b^{\mathrm{\prime }}=1-a$$と置くと $0\leqq a^{\mathrm{\prime }}\leqq b^{\mathrm{\prime }}\leqq 1$ であり、直接代入から$$f_{a,b}(x)=f_{a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }}}(x^{\mathrm{\prime }})$$が成り立つ。$x>1$ なら $x^{\mathrm{\prime }}<0$ だから、上の結果を変換後の関数へ適用して$$f_{a,b}(x)>f_{a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }}}(0)=f_{a,b}(1)\geqq m\mathrm{.}$$(2)
まず $a+b\leqq 1$ とする。$0\leqq x\leqq a$ および $b\leqq x\leqq 1$ では$$f(x)=ab+(1-a-b)x\geqq ab\mathrm{.}$$$a\leqq x\leqq b$ では$$f(x)=-2x^2+(1+a+b)x-ab$$は上に凸であるから、区間内の最小値は端点でとる。しかも$$f(a)=a(1-a)\geqq ab,f(b)=b(1-b)\geqq ab$$である。よって全区間で $f(x)\geqq ab=f(0)$、したがって $m=f(0)$ である。

$a+b\geqq 1$ の場合は上の対称変換により $a^{\mathrm{\prime }}+b^{\mathrm{\prime }}=2-a-b\leqq 1$ となる。したがって変換後の最小値は $f_{a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }}}(0)=f_{a,b}(1)$ であり、$m=f(1)$ である。以上で $m=f(0)$ または $m=f(1)$ が示された。

(3)
(2) より$$m=\min \{ab,(1-a)(1-b)\}\mathrm{.}$$したがって$$m^2\leqq ab(1-a)(1-b)=\{a(1-a)\}\{b(1-b)\}\leqq \frac{1}{16}\mathrm{.}$$$m\geqq 0$ だから $m\leqq 1\mathrm{/}4$ である。一方、$a=b=1\mathrm{/}2$ なら2候補はともに $1\mathrm{/}4$ となる。ゆえに最大値は$$\frac{1}{4}$$である。