北海道大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $z=x+yi$ とおく。すると $z\bar{z}=x^2+y^2$ であるから、方程式 $\text{①}$ は $x^2+y^2=4$ を表す。これは複素数平面上で、原点を中心とする半径 $2$ の円である。

次に、$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-\sqrt{3}+i\mathrm{\mid }$ は、点 $(0,0)$ と点 $(\sqrt{3},-1)$ からの距離が等しい点の集合である。式で整理すると $$x^2+y^2=(x-\sqrt{3}{)}^2+(y+1{)}^2$$ であり、展開して $\sqrt{3}x-y=2$ を得る。したがって方程式 $\text{②}$ は、線分 $(0,0)(\sqrt{3},-1)$ の垂直二等分線である直線 $\sqrt{3}x-y=2$ を表す。

(2)
共通解は $$x^2+y^2=4,\sqrt{3}x-y=2$$ の交点である。直線から $y=\sqrt{3}x-2$ である。これを円の式に代入すると $x^2+(\sqrt{3}x-2{)}^2=4$ となり、$4x^2-4\sqrt{3}x=0$ すなわち $4x(x-\sqrt{3})=0$ である。よって $x=0,\sqrt{3}$ である。 $x=0$ のとき $y=-2$、$x=\sqrt{3}$ のとき $y=1$ である。したがって共通解は $-2i,\sqrt{3}+i$ である。

別解。共通解は極形式で求めてもよい。$\text{①}$ より $$z=2(\cos \theta +i\sin \theta )$$ とおける。このとき $\text{②}$ の直線条件 $\sqrt{3}x-y=2$ は $$\sqrt{3}\cdot 2\cos \theta -2\sin \theta =2$$ すなわち $$\sqrt{3}\cos \theta -\sin \theta =1$$ である。左辺は $2\cos (\theta +\frac{\pi }{6})$ だから $$\cos (\theta +\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$$ となる。したがって $$\theta =\frac{\pi }{6},-\frac{\pi }{2}$$ を得て、共通解は $\sqrt{3}+i$、$-2i$ である。これは座標で求めた結果と一致する。

(3)
(2) で求めたすべての複素数の積は $$w=(-2i)(\sqrt{3}+i)=2-2\sqrt{3}i$$ である。絶対値は $$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=4$$ であり、偏角は $-\frac{\pi }{3}$ ととれる。したがって$$w=4(\cos (-\frac{\pi }{3})+i\sin (-\frac{\pi }{3}))$$である。

整数 $n$ に対して$$w^n=4^n(\cos (-\frac{n\pi }{3})+i\sin (-\frac{n\pi }{3}))$$である。$4^n$ は正の実数なので、$w^n$ が負の実数となるための必要十分条件は $$-\frac{n\pi }{3}\equiv \pi (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$$ である。これは $-n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$ すなわち $n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$ と同値である。

よって求める条件は $$n=6q+3(q\in \mathbb{Z})$$ である。

等距離条件を絶対値の2乗で展開し、実部条件として扱う。円との交点は単位複素数の偏角で求め、最後は正規化した複素数の6乗周期から整数条件を読む。

(1)
第1の方程式は$$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=z\bar{z}=4$$だから、原点中心・半径2の円を表す。第2の方程式で $c=\sqrt{3}-i$ と置くと$$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }z-c{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2-2\mathrm{Re}(z\bar{c})+\mathrm{\mid }c{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }c{\mathrm{\mid }}^2=4$、$\bar{c}=\sqrt{3}+i$ だから$$\begin{array}{cccc}& \mathrm{Re}\{z(\sqrt{3}+i)\}=2.& & \text{(1)}\end{array}$$これは0と $c$ の垂直二等分線であり、$z=x+yi$ とすれば $\sqrt{3}x-y=2$ である。

(2)
$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=2$ より $z=2u$、$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=1$ と置く。$$u=\cos \theta +i\sin \theta$$ とすれば、(1) と$$\sqrt{3}+i=2(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})$$から$$2\cos (\theta +\frac{\pi }{6})=1.$$したがって$$\theta =\frac{\pi }{6},-\frac{\pi }{2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )\mathrm{.}$$よって共通解は$$z=\sqrt{3}+i,z=-2i$$である。

(3)
積は $w=2-2\sqrt{3}i$ である。正規化して$$u=\frac{w}{4}=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$$と置く。直接計算すると$$u^3=-1,u^6=1.$$したがって整数 $n$ に対し $u^n$ は $n$ を6で割った余りだけで決まり、負の実数となるのは余りが3のときに限る。$w^n=4^n{u}^n$ で $4^n>0$ は負の整数 $n$ に対しても成り立つから、必要十分条件は$$n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6),$$すなわち$$n=6q+3(q\in \mathbb{Z})$$である。