北海道大学 2023年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

複素数平面上における図形 $C_{1}, C_{2}, \dots\dots, C_{n}, \dots\dots$ は次の条件(A)と(B)をみたすとする。ただし， $i$ は虚数単位とする。

(A) $C_{1}$ は原点 $O$ を中心とする半径2の円である。

(B) 自然数 $n$ に対して， $z$ が $C_{n}$ 上を動くとき $2 w = z + 1 + i$ で定まる $w$ の描く図形が $C_{n + 1}$ である。

(1) すべての自然数 $n$ に対して， $C_{n}$ は円であることを示し，その中心を表す複素数 $α_{n}$ と半径 $r_{n}$ を求めよ。

(2) $C_{n}$ 上の点と $O$ との距離の最小値を $d_{n}$ とする。このとき， $d_{n}$ を求めよ。また， $n \to \infty lim d_{n}$ を求めよ。

出典：北海道大学 2023年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

解法1（標準解法）

写像 $w = (z + 1 + i) /2$ は，複素数平面上で中心を $(1 + i) /2$ だけずらしながら倍率 $1/2$ に縮小する相似変換である。したがって円は円に移り，中心と半径は $α_{n + 1} = (α_{n} + 1 + i) /2$ ， $r_{n + 1} = r_{n} /2$ を満たす。中心は固定点 $1 + i$ へ近づく等比型として解く。(2) は原点が円の内部または周上にあるかを比べ， $d_{n} = max {0, ∣ α_{n} ∣ - r_{n}}$ とする。

別解（相似変換を直接反復する）

写像 $T (z) = (z + 1 + i) /2$ の固定点を求め， $T^{n - 1}$ を直接計算する。円全体への作用が一式で分かる。

解答

解法1（標準解法）

(1)

条件(B)より $w = \frac{z + 1 + i}{2}$ である。この対応は，すべての点を倍率 $1/2$ で縮小し，さらに平行移動する相似変換である。したがって円は円に移る。 $C_{n}$ の中心を表す複素数を $α_{n}$ ，半径を $r_{n}$ とする。 $z$ が中心 $α_{n}$ ，半径 $r_{n}$ の円上を動くとき， $w$ の中心と半径は $α_{n + 1} = \frac{α _{n} + 1 + i}{2}, r_{n + 1} = \frac{r _{n}}{2}$ である。初期条件は $α_{1} = 0, r_{1} = 2$ である。

まず半径は $r_{n} = \frac{2}{2 ^{n - 1}}$ である。中心については，固定点 $1 + i$ を用いて $α_{n + 1} - (1 + i) = \frac{1}{2} {α_{n} - (1 + i)}$ と書ける。よって

α_{n} - (1 + i) = (\frac{1}{2})^{n - 1} (α_{1} - (1 + i)) = - \frac{1 + i}{2 ^{n - 1}}

である。したがって $α_{n} = (1 + i) (1 - \frac{1}{2 ^{n - 1}})$ である。

(2)

中心が $α_{n}$ ，半径が $r_{n}$ の円上の点と原点との距離の最小値は，原点が円の内部または周上にあるとき $0$ ，外部にあるとき $∣ α_{n} ∣ - r_{n}$ である。したがって $d_{n} = max {0, ∣ α_{n} ∣ - r_{n}}$ である。

ここで

∣ α_{n} ∣ = 2 (1 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}), r_{n} = \frac{2}{2 ^{n - 1}}

である。 $n = 1$ では明らかに原点は円の中心であり， $d_{1} = 0$ である。 $n = 2$ では $∣ α_{2} ∣ = \frac{2}{2} < 1 = r_{2}$ なので $d_{2} = 0$ である。 $n ≧ 3$ では

∣ α_{n} ∣ - r_{n} = 2 (1 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) - \frac{2}{2 ^{n - 1}} > 0

であるから，

d_{n} = 2 (1 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) - \frac{2}{2 ^{n - 1}} (n ≧ 3)

となる。よって

d_{1} = d_{2} = 0, d_{n} = 2 (1 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) - \frac{2}{2 ^{n - 1}} (n ≧ 3)

である。 $n \to \infty$ とすると $2^{- (n - 1)} \to 0$ なので $lim_{n \to \infty} d_{n} = 2$ である。

別解（相似変換を直接反復する）

(1)

写像

T (z) = \frac{z + 1 + i}{2}

の固定点は $1 + i$ である。したがって

T (z) - (1 + i) = \frac{1}{2} {z - (1 + i)}

であり，反復すると

T^{n - 1} (z) = (1 + i) + \frac{z - ( 1 + i )}{2 ^{n - 1}} . (1)

$C_{1}$ 上では $∣ z ∣ = 2$ である。(1) は中心を

α_{n} = (1 + i) (1 - \frac{1}{2 ^{n - 1}})

へ移し，中心からのベクトルを $2^{- (n - 1)}$ 倍する。よって $C_{n}$ は円であり，

α_{n} = (1 + i) (1 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}), r_{n} = \frac{2}{2 ^{n - 1}} .

(2)

原点から中心までの距離は

∣ α_{n} ∣ = 2 (1 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) .

円が原点を含む場合の最小距離は0，含まない場合は中心距離から半径を引いた値なので

d_{n} = max {0, 2 (1 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) - \frac{2}{2 ^{n - 1}}} .

括弧内は $n = 1, 2$ で負， $n ≧ 3$ で正である。したがって

d_{1} = d_{2} = 0, d_{n} = 2 (1 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) - \frac{2}{2 ^{n - 1}} (n ≧ 3) .

ゆえに

n \to \infty lim d_{n} = 2 .

北海道大学 2023年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解法1（標準解法）

別解（相似変換を直接反復する）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

別解（相似変換を直接反復する）

(1)

(2)

北海道大学 2023年度
理系数学前期第1問