北大 2023年度理系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

$K_{n}$ は数直線上で $1$ から $6$ へ向かう折れ線の長さであり，最小値は三角不等式から $5$ である。等号は途中で逆戻りしない場合，つまり $1 ≦ a_{1} ≦ \dots ≦ a_{n} ≦ 6$ に限られる。(3) では $L_{n} = K_{n} + ∣ a_{4} - 4 ∣$ なので，最小値をとるにはさらに $a_{4} = 4$ が必要。 $a_{4}$ の左側と右側を非減少列として分け，重複組合せで数える。

解答

(1) $K_{3}$ は，数直線上で $1 \to a_{1} \to a_{2} \to a_{3} \to 6$ と進む移動距離の合計である。これが最短距離 $5$ に等しいのは，途中で逆戻りしないとき，すなわち $1 ≦ a_{1} ≦ a_{2} ≦ a_{3} ≦ 6$ のときである。

このような列は，6種類の目から重複を許して3個を非減少に選ぶ個数に等しい。したがって $_{6 + 3 - 1} C_{3} =_{8} C_{3} = 56$ 通りである。全事象は $6^{3}$ 通りなので，確率は $\frac{56}{6^{3}} = \frac{7}{27}$ である。

(2)
三角不等式より $K_{n} ≧ ∣ 1 - 6 ∣ = 5$ である。一方，非減少列を選べば $K_{n} = 5$ は実現できるので $q_{n} = 5$ である。

等号成立は，数直線上で $1$ から $6$ へ進む途中に逆戻りがないことと同値である。したがって $K_{n} = q_{n}$ となるための必要十分条件は $1 ≦ a_{1} ≦ a_{2} ≦ \dots ≦ a_{n} ≦ 6$ である。

(3) $K_{n} ≧ 5$ ， $∣ a_{4} - 4 ∣ ≧ 0$ であるから $L_{n} = K_{n} + ∣ a_{4} - 4 ∣ ≧ 5$ である。また，たとえば $a_{1} ≦ a_{2} ≦ a_{3} ≦ a_{4} = 4 ≦ a_{5} ≦ \dots ≦ a_{n}$ を満たす列を取れば $L_{n} = 5$ が実現できる。よって $r_{n} = 5$ である。 $L_{n} = r_{n}$ となるためには， $K_{n} = 5$ かつ $∣ a_{4} - 4 ∣ = 0$ でなければならない。したがって必要十分条件は $1 ≦ a_{1} ≦ a_{2} ≦ a_{3} ≦ a_{4} = 4 ≦ a_{5} ≦ \dots ≦ a_{n} ≦ 6$ である。

初めの3項 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ は， $1, 2, 3, 4$ から重複を許して3個を非減少に選ぶので $_{4 + 3 - 1} C_{3} =_{6} C_{3} = 20$ 通りである。残りの $n - 4$ 項は， $4, 5, 6$ から重複を許して $n - 4$ 個を非減少に選ぶので $_{3 + (n - 4) - 1} C_{n - 4} =_{n - 2} C_{2}$ 通りである。

よって条件を満たす列は $20_{n - 2} C_{2}$ 通りであり，全事象は $6^{n}$ 通りである。したがって $p_{n} = \frac{20_{n - 2} C_{2}}{6^{n}} = \frac{10 (n - 2) (n - 3)}{6^{n}}$ である。

別解

別解（下降量の恒等式と出現回数）

方針

各移動の下降量の総和を $D$ として $K_{n} = 5 + 2 D$ を導く。最小条件を等式で判定し，非減少列は各出目の出現回数で数える。

解答

両端に $a_{0} = 1$ ， $a_{n + 1} = 6$ を加え，各差 $a_{j + 1} - a_{j}$ のうち負のものの絶対値の和を $D$ とする。右向き移動量の総和を $U$ とすれば $U - D = 5$ なので $\begin{matrix} K_{n} = U + D = 5 + 2 D . & (*) \end{matrix}$ (1)
$K_{3} = 5$ は $D = 0$ ，すなわち $a_{1} ≦ a_{2} ≦ a_{3}$ と同値である。各目の出現回数 $m_{1}, \dots, m_{6}$ は $m_{1} + \dots + m_{6} = 3, m_{j} ≧ 0$ を満たし，逆にこの解から非減少列が一意に決まる。解の個数は $_{8} C_{5} = 56$ だから，求める確率は $\frac{56}{6^{3}} = \frac{7}{27} .$ (2)
(*) より $q_{n} = 5.$ 等号は $D = 0$ のとき，すなわち $1 ≦ a_{1} ≦ a_{2} ≦ \dots ≦ a_{n} ≦ 6$ のとき，かつそのときに限る。

(3)
(*) を使うと $L_{n} = 5 + 2 D + ∣ a_{4} - 4 ∣ .$ したがって最小値は $r_{n} = 5$ であり，等号条件は $D = 0, a_{4} = 4.$ すなわち $a_{1} ≦ a_{2} ≦ a_{3} ≦ 4 ≦ a_{5} ≦ \dots ≦ a_{n}$ である。

初めの3項は $1, 2, 3, 4$ の出現回数の和が3となるので $_{6} C_{3} = 20$ 通りである。後ろの $n - 4$ 項は $4, 5, 6$ の出現回数の和が $n - 4$ となるので $_{n - 2} C_{2}$ 通りである。全事象は $6^{n}$ 通りだから $p_{n} = \frac{20_{n - 2} C_{2}}{6^{n}} = \frac{10 (n - 2) (n - 3)}{6^{n}} .$

総評

絶対値和の等号条件と重複組合せを使う確率問題。目安時間は16分。(1)(2) は文系第3問と同じ構造で，数直線上の移動距離として読むと短い。(3) は $a_{4} = 4$ が追加されるため，列を $a_{4}$ の左と右に分けるのが自然である。左側は4種類から3個，右側は3種類から $n - 4$ 個を非減少に選ぶ，という分解を明示すると数え落としを防げる。重複組合せと下降量で $p_{n} = 10 (n - 2) (n - 3) / 6^{n}$ が一致した。重複組合せと下降量で $p_{n} = 10 (n - 2) (n - 3) / 6^{n}$ が一致した。重複組合せと下降量で $p_{n} = 10 (n - 2) (n - 3) / 6^{n}$ が一致した。

出典: 北海道大学 2023年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

北海道大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

北海道大学 2023年度前期日程第2次学力試験理系数学第4問