北海道大学 2023年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

$n$ を2以上の自然数とする。1個のさいころを $n$ 回投げて出た目の数を順に $a_{1}, a_{2}, \dots\dots, a_{n}$ とし，

K_{n} = ∣1 - a_{1} ∣ + ∣ a_{1} - a_{2} ∣ + \dots\dots + ∣ a_{n - 1} - a_{n} ∣ + ∣ a_{n} - 6∣

とおく。また， $K_{n}$ のとりうる値の最小値を $q_{n}$ とする。

(1) $K_{3} = 5$ となる確率を求めよ。

(2) $q_{n}$ を求めよ。また， $K_{n} = q_{n}$ となるための $a_{1}, a_{2}, \dots\dots, a_{n}$ に関する必要十分条件を求めよ。

(3) $n$ を4以上の自然数とする。 $L_{n} = K_{n} + ∣ a_{4} - 4∣$ とおき， $L_{n}$ のとりうる値の最小値を $r_{n}$ とする。 $L_{n} = r_{n}$ となる確率 $p_{n}$ を求めよ。

出典：北海道大学 2023年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

解法1（標準解法）

$K_{n}$ は数直線上で $1$ から $6$ へ向かう折れ線の長さであり，最小値は三角不等式から $5$ である。等号は途中で逆戻りしない場合，つまり $1 ≦ a_{1} ≦ \dots ≦ a_{n} ≦ 6$ に限られる。(3) では $L_{n} = K_{n} + ∣ a_{4} - 4∣$ なので，最小値をとるにはさらに $a_{4} = 4$ が必要。 $a_{4}$ の左側と右側を非減少列として分け，重複組合せで数える。

別解（下降量の恒等式と出現回数）

各移動の下降量の総和を $D$ として $K_{n} = 5 + 2 D$ を導く。最小条件を等式で判定し，非減少列は各出目の出現回数で数える。

解答

解法1（標準解法）

(1)

$K_{3}$ は，数直線上で $1 \to a_{1} \to a_{2} \to a_{3} \to 6$ と進む移動距離の合計である。これが最短距離 $5$ に等しいのは，途中で逆戻りしないとき，すなわち $1 ≦ a_{1} ≦ a_{2} ≦ a_{3} ≦ 6$ のときである。

このような列は，6種類の目から重複を許して3個を非減少に選ぶ個数に等しい。したがって $_{6 + 3 - 1} C_{3} =_{8} C_{3} = 56$ 通りである。全事象は $6^{3}$ 通りなので，確率は $\frac{56}{6 ^{3}} = \frac{7}{27}$ である。

(2)

三角不等式より $K_{n} ≧ ∣1 - 6∣ = 5$ である。一方，非減少列を選べば $K_{n} = 5$ は実現できるので $q_{n} = 5$ である。

等号成立は，数直線上で $1$ から $6$ へ進む途中に逆戻りがないことと同値である。したがって $K_{n} = q_{n}$ となるための必要十分条件は $1 ≦ a_{1} ≦ a_{2} ≦ \dots ≦ a_{n} ≦ 6$ である。

(3)

$K_{n} ≧ 5$ ， $∣ a_{4} - 4∣ ≧ 0$ であるから $L_{n} = K_{n} + ∣ a_{4} - 4∣ ≧ 5$ である。また，たとえば $a_{1} ≦ a_{2} ≦ a_{3} ≦ a_{4} = 4 ≦ a_{5} ≦ \dots ≦ a_{n}$ を満たす列を取れば $L_{n} = 5$ が実現できる。よって $r_{n} = 5$ である。 $L_{n} = r_{n}$ となるためには， $K_{n} = 5$ かつ $∣ a_{4} - 4∣ = 0$ でなければならない。したがって必要十分条件は

1 ≦ a_{1} ≦ a_{2} ≦ a_{3} ≦ a_{4} = 4 ≦ a_{5} ≦ \dots ≦ a_{n} ≦ 6

である。

初めの3項 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ は， $1, 2, 3, 4$ から重複を許して3個を非減少に選ぶので $_{4 + 3 - 1} C_{3} =_{6} C_{3} = 20$ 通りである。残りの $n - 4$ 項は， $4, 5, 6$ から重複を許して $n - 4$ 個を非減少に選ぶので $_{3 + (n - 4) - 1} C_{n - 4} =_{n - 2} C_{2}$ 通りである。

よって条件を満たす列は $20_{n - 2} C_{2}$ 通りであり，全事象は $6^{n}$ 通りである。したがって $p_{n} = \frac{20 _{n - 2} C _{2}}{6 ^{n}} = \frac{10 ( n - 2 ) ( n - 3 )}{6 ^{n}}$ である。

別解（下降量の恒等式と出現回数）

両端に $a_{0} = 1$ ， $a_{n + 1} = 6$ を加え，各差 $a_{j + 1} - a_{j}$ のうち負のものの絶対値の和を $D$ とする。右向き移動量の総和を $U$ とすれば

U - D = 5

なので

K_{n} = U + D = 5 + 2 D . (*)

(1)

$K_{3} = 5$ は $D = 0$ ，すなわち $a_{1} ≦ a_{2} ≦ a_{3}$ と同値である。各目の出現回数 $m_{1}, \dots, m_{6}$ は

m_{1} + \dots + m_{6} = 3, m_{j} ≧ 0

を満たし，逆にこの解から非減少列が一意に決まる。解の個数は

_{8} C_{5} = 56

だから，求める確率は

\frac{56}{6 ^{3}} = \frac{7}{27} .

(2)

(*) より

q_{n} = 5.

等号は $D = 0$ のとき，すなわち

1 ≦ a_{1} ≦ a_{2} ≦ \dots ≦ a_{n} ≦ 6

のとき，かつそのときに限る。

(3)

(*) を使うと

L_{n} = 5 + 2 D + ∣ a_{4} - 4∣.

したがって最小値は $r_{n} = 5$ であり，等号条件は

D = 0, a_{4} = 4.

すなわち

a_{1} ≦ a_{2} ≦ a_{3} ≦ 4 ≦ a_{5} ≦ \dots ≦ a_{n}

である。

初めの3項は $1, 2, 3, 4$ の出現回数の和が3となるので

_{6} C_{3} = 20

通りである。後ろの $n - 4$ 項は $4, 5, 6$ の出現回数の和が $n - 4$ となるので

_{n - 2} C_{2}

通りである。全事象は $6^{n}$ 通りだから

p_{n} = \frac{20 _{n - 2} C _{2}}{6 ^{n}} = \frac{10 ( n - 2 ) ( n - 3 )}{6 ^{n}} .

北海道大学 2023年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解法1（標準解法）

別解（下降量の恒等式と出現回数）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

別解（下降量の恒等式と出現回数）

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2023年度
理系数学前期第4問