北海道大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ で $f(\theta )$ は連続である。端での値を考えると $f(0)=ab-b=b(a-1)$ である。$a^2+b^2<1$，$a>0$ より $a<1$ なので $f(0)<0$ である。また $$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-ab+a=a(1-b)$$ であり，$b<1$ だから $$f\left(\frac{\pi }{2}\right)>0$$ である。よって中間値の定理により，$f(\theta )=0$ は $$0<\theta <\frac{\pi }{2}$$ に少なくとも1つ解をもつ。

(2) $$P=(\cos \theta ,\sin \theta )$$ における単位円 $C$ の接線は $$x\cos \theta +y\sin \theta =1$$ である。この直線の法線方向は $(\cos \theta ,\sin \theta )$ である。

点 $B=(0,b)$ について，直線の左辺の値は $b\sin \theta$ である。したがって $B$ から接線まで法線方向に進む距離は，符号つきで $1-b\sin \theta$ である。反射点 $D$ は，$B$ から接線までの法線方向の移動を2倍した点なので $$D=B+2(1-b\sin \theta )(\cos \theta ,\sin \theta )$$ である。よって$$D=(2(1-b\sin \theta )\cos \theta ,b+2(1-b\sin \theta )\sin \theta )$$である。

(3) $c=\cos \theta$，$s=\sin \theta$ とおく。$A=(a,0)$，$P=(c,s)$ であり，(2)より $$D=(2(1-bs)c,b+2(1-bs)s)$$ である。

3点 $A,P,D$ が同一直線上にあることは，$\overrightarrow{AP}$ と $\overrightarrow{AD}$ が平行であることと同値である。したがって $$(c-a)\{b+2(1-bs)s\}-s\{2(1-bs)c-a\}=0$$ である。これを整理すると $$(c-a)b+2s(c-a)(1-bs)-2sc(1-bs)+as=0$$ であり，$bc-ab+as-2as(1-bs)=0$ となる。さらに整理して $ab(2s^2-1)+as-bc=0$ である。$2s^2-1=-\cos 2\theta$ を用い，両辺に $-1$ を掛けると $$ab\cos 2\theta +a\sin \theta -b\cos \theta =0$$ となる。これは $f(\theta )=0$ である。したがって(1)より，条件を満たす $\theta$ は少なくとも1つ存在する。

次に一意性を示す。微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(\theta )=a\cos \theta +b\sin \theta -4ab\sin \theta \cos \theta$$ である。ここで $$u=a\cos \theta +b\sin \theta$$ とおく。$a,b>0$，$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ より $u>0$ である。また，$a^2+b^2<1$ と $${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$$ より $u<1$ である。

さらに $$u^2-4ab\sin \theta \cos \theta =(a\cos \theta -b\sin \theta {)}^2\geqq 0$$ だから $$4ab\sin \theta \cos \theta \leqq u^2$$ である。よって $$f^{\mathrm{\prime }}(\theta )=u-4ab\sin \theta \cos \theta \geqq u-u^2=u(1-u)>0$$ である。

したがって $f(\theta )$ は $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ で狭義単調増加である。$f(\theta )=0$ の解は高々1つであり，すでに存在は示したので，条件を満たす $\theta$ はただ1つである。

接線の単位法線への射影で反射点を一式に表す。3点の共線条件を2次の行列式で判定し，得られた関数の導関数を評価する。

(1)
$a^2+b^2<1$，$a,b>0$ より $0<a<1$，$0<b<1$ である。したがって$$f(0)=b(a-1)<0,f\left(\frac{\pi }{2}\right)=a(1-b)>0.$$$f$ は閉区間で連続なので，中間値の定理から$$0<\theta <\frac{\pi }{2}$$に少なくとも一つ零点がある。

(2)
$c=\cos \theta$，$s=\sin \theta$ とおく。接線は$$cx+sy=1$$であり，$\mathit{n}=(c,s)$ はその単位法線ベクトルである。点 $B=(0,b)$ から接線までの法線方向の符号つき長さは$$1-B\cdot \mathit{n}=1-bs\mathrm{.}$$反射ではこの移動を2倍するから$$D=B+2(1-bs)\mathit{n}\mathrm{.}$$よって$$D=(2(1-b\sin \theta )\cos \theta ,b+2(1-b\sin \theta )\sin \theta )\mathrm{.}$$(3)
$A=(a,0)$，$P=(c,s)$ とし，(2) の $D$ を用いる。3点が共線であるための必要十分条件は$$\det (\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AD})=0.$$左辺を整理すると$$-\{ab\cos 2\theta +a\sin \theta -b\cos \theta \}=-f(\theta )$$となる。したがって (1) により共線となる $\theta$ は少なくとも一つ存在する。

一意性を示すため$$u=a\cos \theta +b\sin \theta$$とおく。Cauchy--Schwarzの不等式と仮定から$$0<u<\sqrt{a^2+b^2}<1.$$また$$u^2-4ab\sin \theta \cos \theta =(a\cos \theta -b\sin \theta {)}^2\geqq 0.$$ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(\theta )}& {\displaystyle =u-4ab\sin \theta \cos \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq u-u^2=u(1-u)>0.}\end{array}$$したがって $f$ は区間内で狭義単調増加であり，零点はただ一つである。つまり3点 $A,P,D$ が同一直線上にある $\theta$ もただ一つである。