北海道大学 2023年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ を $a^{2} + b^{2} < 1$ をみたす正の実数とする。また，座標平面上で原点を中心とする半径1の円を $C$ とし， $C$ の内部にある2点 $A (a, 0)$ ， $B (0, b)$ を考える。 $0 < θ < \frac{π}{2}$ に対して $C$ 上の点 $P (cos θ, sin θ)$ を考え， $P$ における $C$ の接線に関して $B$ と対称な点を $D$ とおく。

(1) $f (θ) = ab cos 2 θ + a sin θ - b cos θ$ とおく。方程式 $f (θ) = 0$ の解が $0 < θ < \frac{π}{2}$ の範囲に少なくとも1つ存在することを示せ。

(2) $D$ の座標を $b$ ， $θ$ を用いて表せ。

(3) $θ$ が $0 < θ < \frac{π}{2}$ の範囲を動くとき，3点 $A$ ， $P$ ， $D$ が同一直線上にあるような $θ$ は少なくとも1つ存在することを示せ。また，このような $θ$ はただ1つであることを示せ。

出典：北海道大学 2023年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

解法1（標準解法）

(1) は $f (θ)$ が連続であることと，端での符号 $f (0) < 0$ ， $f (π /2) > 0$ を使う。(2) は接線を $x cos θ + y sin θ = 1$ とし，点を直線に関して反射する公式を法線方向 $(cos θ, sin θ)$ に沿って書く。(3) は $A, P, D$ の共線条件を2つの方向ベクトルの比例，または面積0の条件で整理して $f (θ) = 0$ に帰着する。一意性は $f^{'} (θ) > 0$ を示すため， $u = a cos θ + b sin θ$ とおいて $0 < u < 1$ ， $4 ab sin θ cos θ ≦ u^{2}$ を使う。

別解（法線射影と行列式）

接線の単位法線への射影で反射点を一式に表す。3点の共線条件を2次の行列式で判定し，得られた関数の導関数を評価する。

解答

解法1（標準解法）

(1)

$0 < θ < π /2$ で $f (θ)$ は連続である。端での値を考えると $f (0) = ab - b = b (a - 1)$ である。 $a^{2} + b^{2} < 1$ ， $a > 0$ より $a < 1$ なので $f (0) < 0$ である。また $f (\frac{π}{2}) = - ab + a = a (1 - b)$ であり， $b < 1$ だから $f (\frac{π}{2}) > 0$ である。よって中間値の定理により， $f (θ) = 0$ は $0 < θ < \frac{π}{2}$ に少なくとも1つ解をもつ。

(2)

$P = (cos θ, sin θ)$ における単位円 $C$ の接線は $x cos θ + y sin θ = 1$ である。この直線の法線方向は $(cos θ, sin θ)$ である。

点 $B = (0, b)$ について，直線の左辺の値は $b sin θ$ である。したがって $B$ から接線まで法線方向に進む距離は，符号つきで $1 - b sin θ$ である。反射点 $D$ は， $B$ から接線までの法線方向の移動を2倍した点なので $D = B + 2 (1 - b sin θ) (cos θ, sin θ)$ である。よって

D = (2 (1 - b sin θ) cos θ, b + 2 (1 - b sin θ) sin θ)

である。

(3)

$c = cos θ$ ， $s = sin θ$ とおく。 $A = (a, 0)$ ， $P = (c, s)$ であり，(2)より $D = (2 (1 - b s) c, b + 2 (1 - b s) s)$ である。

3点 $A, P, D$ が同一直線上にあることは， $A P$ と $A D$ が平行であることと同値である。したがって $(c - a) {b + 2 (1 - b s) s} - s {2 (1 - b s) c - a} = 0$ である。これを整理すると $(c - a) b + 2 s (c - a) (1 - b s) - 2 sc (1 - b s) + a s = 0$ であり， $b c - ab + a s - 2 a s (1 - b s) = 0$ となる。さらに整理して $ab (2 s^{2} - 1) + a s - b c = 0$ である。 $2 s^{2} - 1 = - cos 2 θ$ を用い，両辺に $- 1$ を掛けると $ab cos 2 θ + a sin θ - b cos θ = 0$ となる。これは $f (θ) = 0$ である。したがって(1)より，条件を満たす $θ$ は少なくとも1つ存在する。

次に一意性を示す。微分すると $f^{'} (θ) = a cos θ + b sin θ - 4 ab sin θ cos θ$ である。ここで $u = a cos θ + b sin θ$ とおく。 $a, b > 0$ ， $0 < θ < π /2$ より $u > 0$ である。また， $a^{2} + b^{2} < 1$ と $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ より $u < 1$ である。

さらに $u^{2} - 4 ab sin θ cos θ = (a cos θ - b sin θ)^{2} ≧ 0$ だから $4 ab sin θ cos θ ≦ u^{2}$ である。よって $f^{'} (θ) = u - 4 ab sin θ cos θ ≧ u - u^{2} = u (1 - u) > 0$ である。

したがって $f (θ)$ は $0 < θ < π /2$ で狭義単調増加である。 $f (θ) = 0$ の解は高々1つであり，すでに存在は示したので，条件を満たす $θ$ はただ1つである。

別解（法線射影と行列式）

(1)

$a^{2} + b^{2} < 1$ ， $a, b > 0$ より $0 < a < 1$ ， $0 < b < 1$ である。したがって

f (0) = b (a - 1) < 0, f (\frac{π}{2}) = a (1 - b) > 0.

$f$ は閉区間で連続なので，中間値の定理から

0 < θ < \frac{π}{2}

に少なくとも一つ零点がある。

(2)

$c = cos θ$ ， $s = sin θ$ とおく。接線は

c x + sy = 1

であり， $n = (c, s)$ はその単位法線ベクトルである。点 $B = (0, b)$ から接線までの法線方向の符号つき長さは

1 - B \cdot n = 1 - b s .

反射ではこの移動を2倍するから

D = B + 2 (1 - b s) n .

よって

D = (2 (1 - b sin θ) cos θ, b + 2 (1 - b sin θ) sin θ) .

(3)

$A = (a, 0)$ ， $P = (c, s)$ とし，(2) の $D$ を用いる。3点が共線であるための必要十分条件は

det (A P, A D) = 0.

左辺を整理すると

- {ab cos 2 θ + a sin θ - b cos θ} = - f (θ)

となる。したがって (1) により共線となる $θ$ は少なくとも一つ存在する。

一意性を示すため

u = a cos θ + b sin θ

とおく。Cauchy--Schwarzの不等式と仮定から

0 < u < a^{2} + b^{2} < 1.

また

u^{2} - 4 ab sin θ cos θ = (a cos θ - b sin θ)^{2} ≧ 0.

ゆえに

f^{'} (θ) = u - 4 ab sin θ cos θ ≧ u - u^{2} = u (1 - u) > 0.

したがって $f$ は区間内で狭義単調増加であり，零点はただ一つである。つまり3点 $A, P, D$ が同一直線上にある $θ$ もただ一つである。

北海道大学 2023年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解法1（標準解法）

別解（法線射影と行列式）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

別解（法線射影と行列式）

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2023年度
理系数学前期第5問