問題
を原点とする座標空間において，3点，，を通る平面をとおく。また，球面は半径が9で，との交わりはを中心としを通る円であるとする。ただし，の中心の座標は正とする。
(1) 線分の長さを求めよ。
(2) の座標を求めよ。
(3) と直線は2点で交わる。その2点間の距離を求めよ。
方針
解法1（標準解法）
切断円の中心が であることから，球の中心 は平面 に垂直で を通る直線上にある。(1) は球の半径 ，切断円の半径 から直角三角形で を求める。(2) は平面に垂直な方向ベクトルを の両方と内積0になるように決め， 座標が正の方を選ぶ。(3) は中心から直線 までの距離を使って弦長を出す。別解として，直線上の点を球面方程式へ直接代入して2交点のパラメータ差から弦長を求める。
別解（平面の方程式と球面への直接代入）
平面の方程式を先に求め，その法線上で球の中心を決定する。直線と球の二交点間距離は，パラメータの二次方程式の根の差から求める。
解答
解法1（標準解法）
(1)
と平面 の交わりは，中心 ， を通る円である。したがってこの切断円の半径は である。
球の中心 から平面 に下ろした垂線の足は，切断円の中心 である。よって，球の半径 ，切断円の半径 ，距離 は直角三角形を作り， である。したがって より である。
(2)
である。平面 に垂直なベクトルを とおくと， を満たす。よって である。たとえば とすれば を得る。この長さは である。 であるから である。したがって の候補は または である。 の 座標は正なので である。
(3)
直線 上の点は と表せる。中心 から直線 までの距離を とする。，， であるから，射影を用いて である。
球の半径は なので，直線 が球面と交わってできる弦の半分の長さは である。したがって2点間の距離は である。
別解（平面の方程式と球面への直接代入）
(1)
切断円の半径は
球の中心から切断面へ下ろした垂線の足が切断円の中心 であるから
よって
(2)
の両方に垂直なベクトルとして を取れる。したがって平面 は
であり，その法線上にある は
と書ける。法線ベクトルの長さは3だから ，すなわち である。 座標が正となる を選んで
(3)
直線 上の点を
とおき，中心 ，半径9の球面へ代入する。
より
二つの解を とすると，判別式を用いて
パラメータが1変わると直線上の距離は
だけ変わる。したがって二交点間の距離は