Evolton
方針
切断円の中心が であることから，球の中心 は平面 に垂直で を通る直線上にある。(1) は球の半径 ，切断円の半径 から直角三角形で を求める。(2) は平面に垂直な方向ベクトルを の両方と内積0になるように決め， 座標が正の方を選ぶ。(3) は中心から直線 までの距離を使って弦長を出す。別解として，直線上の点を球面方程式へ直接代入して2交点のパラメータ差から弦長を求める。
解答
(1) と平面 の交わりは，中心 ， を通る円である。したがってこの切断円の半径は である。
球の中心 から平面 に下ろした垂線の足は，切断円の中心 である。よって，球の半径 ，切断円の半径 ，距離 は直角三角形を作り， である。したがって より である。
(2) である。平面 に垂直なベクトルを とおくと， を満たす。よって である。たとえば とすれば を得る。この長さは である。 であるから である。したがって の候補は または である。 の 座標は正なので である。
(3)
直線 上の点は と表せる。中心 から直線 までの距離を とする。，， であるから，射影を用いて である。
球の半径は なので，直線 が球面と交わってできる弦の半分の長さは である。したがって2点間の距離は である。
別解
別解（平面の方程式と球面への直接代入）
方針
平面の方程式を先に求め，その法線上で球の中心を決定する。直線と球の二交点間距離は，パラメータの二次方程式の根の差から求める。
解答
(1)
切断円の半径は球の中心から切断面へ下ろした垂線の足が切断円の中心 であるからよって(2)の両方に垂直なベクトルとして を取れる。したがって平面 はであり，その法線上にある はと書ける。法線ベクトルの長さは3だから ，すなわち である。 座標が正となる を選んで(3)
直線 上の点をとおき，中心 ，半径9の球面へ代入する。より二つの解を とすると，判別式を用いてパラメータが1変わると直線上の距離はだけ変わる。したがって二交点間の距離は
総評
球の切断円と空間ベクトルを組み合わせる問題。目安時間は18分。切断円の中心が であることから， が平面に垂直であると読めるかが最初の要点である。法線方向は外積を使わなくても，， との内積がともに0になる成分条件で求められる。弦長は中心から直線までの距離で出す方法が短いが，直線を球面に代入する別解も計算確認として有効である。 距離公式と二次方程式の根の差で弦長が一致した。 距離公式と二次方程式の根の差で弦長が一致した。 距離公式と二次方程式の根の差で弦長が一致した。