北海道大学 2023年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。ただし， $e$ は自然対数の底を表す。

(1) $k$ を実数の定数とし， $f (x) = x e^{- x}$ とおく。方程式 $f (x) = k$ の異なる実数解の個数を求めよ。ただし， $x \to \infty lim f (x) = 0$ を用いてもよい。

(2) $x y e^{- (x + y)} = c$ をみたす正の実数 $x$ ， $y$ の組がただ1つ存在するときの実数 $c$ の値を求めよ。

(3) $x y e^{- (x + y)} = \frac{3}{e ^{4}}$ をみたす正の実数 $x$ ， $y$ を考えるとき， $y$ のとりうる値の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

出典：北海道大学 2023年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

解法1（標準解法）

(1) は $f (x) = x e^{- x}$ の増減を調べ， $x = 1$ で最大値 $1/ e$ をとること， $x = 0$ で0になること， $x \to \infty$ で0に近づくことを使って解の個数を分類する。(2) は $x y e^{- (x + y)} = (x e^{- x}) (y e^{- y})$ と分け，正の範囲で各因子が最大 $1/ e$ を一意にとることから，ただ1組になるのは最大積の場合だけと見る。(3) は $y$ を固定し， $x$ が存在する条件を $x e^{- x} ≦ 1/ e$ で判定し， $y e^{- y} ≧ 3/ e^{3}$ から最大の $y$ を求める。

別解（対数を取った関数と基本不等式）

正の範囲では $lo g (x e^{- x}) = lo g x - x$ の増減を調べる。最大値と等号条件は基本不等式 $lo g t ≦ t - 1$ でも確認する。

解答

解法1（標準解法）

(1)

$f (x) = x e^{- x}$ とする。微分すると $f^{'} (x) = e^{- x} (1 - x)$ である。 $e^{- x} > 0$ だから， $f (x)$ は $x < 1$ で増加し， $x > 1$ で減少する。また $f (1) = \frac{1}{e}, f (0) = 0, lim_{x \to \infty} f (x) = 0$ である。さらに $x < 0$ では $f (x) < 0$ であり， $x \to - \infty$ では $f (x) \to - \infty$ である。

以上より，方程式 $f (x) = k$ の異なる実数解の個数は

k < 0 k = 0 0 < k < 1/ e k = 1/ e k > 1/ e 11210

である。

(2)

正の実数 $t$ に対して，(1)より $t e^{- t} ≦ \frac{1}{e}$ であり，等号は $t = 1$ のときだけ成り立つ。したがって正の $x, y$ について $x y e^{- (x + y)} = (x e^{- x}) (y e^{- y}) ≦ \frac{1}{e ^{2}}$ であり，等号は $x = 1, y = 1$ のときだけ成り立つ。

よって，ただ1つの組だけが存在するのは最大値をとる場合であり， $c = \frac{1}{e ^{2}}$ である。このとき実際に解は $(x, y) = (1, 1)$ の1組だけである。

(3)

条件は $(x e^{- x}) (y e^{- y}) = \frac{3}{e ^{4}}$ である。 $y$ を正の実数として固定する。正の $x$ が存在するためには， $x e^{- x}$ の最大値が $1/ e$ であることから $\frac{3/ e ^{4}}{y e ^{- y}} ≦ \frac{1}{e}$ が必要十分である。すなわち $y e^{- y} ≧ \frac{3}{e ^{3}}$ である。

正の範囲で $g (y) = y e^{- y}$ は $0 < y < 1$ で増加し， $y > 1$ で減少する。また $g (3) = \frac{3}{e ^{3}}$ である。したがって $g (y) ≧ 3/ e^{3}$ を満たす正の $y$ の最大値は $y = 3$ である。

このとき $x e^{- x} = \frac{3/ e ^{4}}{3/ e ^{3}} = \frac{1}{e}$ であるから，(1)の等号条件より $x = 1$ である。よって $y$ の最大値は $3$ ，そのときの $x$ は $1$ である。

別解（対数を取った関数と基本不等式）

(1)

$x ≦ 0$ では

f^{'} (x) = e^{- x} (1 - x) > 0

であり， $f$ の値域は $(- \infty, 0]$ である。したがって $k < 0$ では解が1個， $k = 0$ では $x = 0$ の1個である。

$x > 0$ では $f (x) > 0$ なので対数を取り，

g (x) = lo g f (x) = lo g x - x

とおく。すると

g^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1

だから， $f$ は $0 < x < 1$ で増加し， $x > 1$ で減少する。最大値は $f (1) = 1/ e$ ，両端での極限は0である。よって異なる実数解の個数は

k 個数 k < 0 1 k = 0 1 0 < k < 1/ e 2 k = 1/ e 1 k > 1/ e 0

となる。

(2)

正の実数 $t$ に対する基本不等式

lo g t ≦ t - 1

から

t e^{- t} ≦ e^{- 1}

であり，等号は $t = 1$ のときに限る。したがって

x y e^{- (x + y)} = (x e^{- x}) (y e^{- y}) ≦ e^{- 2},

等号は $(x, y) = (1, 1)$ のときだけ成り立つ。

$0 < c < e^{- 2}$ なら， $t e^{- t} = c$ は (1) により異なる二つの正の解をもち，少なくとも二つの対角解 $(t, t)$ が生じる。 $c ≦ 0$ または $c > e^{- 2}$ では正の解はない。ゆえに解がただ1組存在するのは

c = e^{- 2}

のときである。

(3)

$x e^{- x} ≦ e^{- 1}$ より，条件を満たすためには

y e^{- y} = \frac{3 e ^{- 4}}{x e ^{- x}} ≧ 3 e^{- 3} . (1)

関数 $y e^{- y}$ は $y > 1$ で狭義に減少し， $y = 3$ で $3 e^{- 3}$ となる。したがって (1) から $y ≦ 3$ であり，最大値は $3$ である。

$y = 3$ のとき条件は $x e^{- x} = e^{- 1}$ となるので，等号条件から $x = 1$ である。よって

y_{m a x} = 3, x = 1.

北海道大学 2023年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解法1（標準解法）

別解（対数を取った関数と基本不等式）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

別解（対数を取った関数と基本不等式）

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2023年度
理系数学前期第3問