北大 2023年度理系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

(1) は $f (x) = x e^{- x}$ の増減を調べ， $x = 1$ で最大値 $1 / e$ をとること， $x = 0$ で0になること， $x \to \infty$ で0に近づくことを使って解の個数を分類する。(2) は $x y e^{- (x + y)} = (x e^{- x}) (y e^{- y})$ と分け，正の範囲で各因子が最大 $1 / e$ を一意にとることから，ただ1組になるのは最大積の場合だけと見る。(3) は $y$ を固定し， $x$ が存在する条件を $x e^{- x} ≦ 1 / e$ で判定し， $y e^{- y} ≧ 3 / e^{3}$ から最大の $y$ を求める。

解答

(1) $f (x) = x e^{- x}$ とする。微分すると $f^{'} (x) = e^{- x} (1 - x)$ である。 $e^{- x} > 0$ だから， $f (x)$ は $x < 1$ で増加し， $x > 1$ で減少する。また $f (1) = \frac{1}{e}, f (0) = 0, \lim_{x \to \infty} f (x) = 0$ である。さらに $x < 0$ では $f (x) < 0$ であり， $x \to - \infty$ では $f (x) \to - \infty$ である。

以上より，方程式 $f (x) = k$ の異なる実数解の個数は $\begin{array}{cc} k < 0 & 1 \\ k = 0 & 1 \\ 0 < k < 1 / e & 2 \\ k = 1 / e & 1 \\ k > 1 / e & 0 \end{array}$ である。

(2)
正の実数 $t$ に対して，(1)より $t e^{- t} ≦ \frac{1}{e}$ であり，等号は $t = 1$ のときだけ成り立つ。したがって正の $x, y$ について $x y e^{- (x + y)} = (x e^{- x}) (y e^{- y}) ≦ \frac{1}{e^{2}}$ であり，等号は $x = 1, y = 1$ のときだけ成り立つ。

よって，ただ1つの組だけが存在するのは最大値をとる場合であり， $c = \frac{1}{e^{2}}$ である。このとき実際に解は $(x, y) = (1, 1)$ の1組だけである。

(3)
条件は $(x e^{- x}) (y e^{- y}) = \frac{3}{e^{4}}$ である。 $y$ を正の実数として固定する。正の $x$ が存在するためには， $x e^{- x}$ の最大値が $1 / e$ であることから $\frac{3 / e^{4}}{y e^{- y}} ≦ \frac{1}{e}$ が必要十分である。すなわち $y e^{- y} ≧ \frac{3}{e^{3}}$ である。

正の範囲で $g (y) = y e^{- y}$ は $0 < y < 1$ で増加し， $y > 1$ で減少する。また $g (3) = \frac{3}{e^{3}}$ である。したがって $g (y) ≧ 3 / e^{3}$ を満たす正の $y$ の最大値は $y = 3$ である。

このとき $x e^{- x} = \frac{3 / e^{4}}{3 / e^{3}} = \frac{1}{e}$ であるから，(1)の等号条件より $x = 1$ である。よって $y$ の最大値は $3$ ，そのときの $x$ は $1$ である。

別解

別解（対数を取った関数と基本不等式）

方針

正の範囲では $\log (x e^{- x}) = \log x - x$ の増減を調べる。最大値と等号条件は基本不等式 $\log t ≦ t - 1$ でも確認する。

解答

(1)
$x ≦ 0$ では $f^{'} (x) = e^{- x} (1 - x) > 0$ であり， $f$ の値域は $(- \infty, 0]$ である。したがって $k < 0$ では解が1個， $k = 0$ では $x = 0$ の1個である。

$x > 0$ では $f (x) > 0$ なので対数を取り， $g (x) = \log f (x) = \log x - x$ とおく。すると $g^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1$ だから， $f$ は $0 < x < 1$ で増加し， $x > 1$ で減少する。最大値は $f (1) = 1 / e$ ，両端での極限は0である。よって異なる実数解の個数は $\begin{array}{cccccc} k & k < 0 & k = 0 & 0 < k < 1 / e & k = 1 / e & k > 1 / e \\ 個数 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0 \end{array}$ となる。

(2)
正の実数 $t$ に対する基本不等式 $\log t ≦ t - 1$ から $t e^{- t} ≦ e^{- 1}$ であり，等号は $t = 1$ のときに限る。したがって $x y e^{- (x + y)} = (x e^{- x}) (y e^{- y}) ≦ e^{- 2},$ 等号は $(x, y) = (1, 1)$ のときだけ成り立つ。

$0 < c < e^{- 2}$ なら， $t e^{- t} = \sqrt{c}$ は (1) により異なる二つの正の解をもち，少なくとも二つの対角解 $(t, t)$ が生じる。 $c ≦ 0$ または $c > e^{- 2}$ では正の解はない。ゆえに解がただ1組存在するのは $c = e^{- 2}$ のときである。

(3)
$x e^{- x} ≦ e^{- 1}$ より，条件を満たすためには $\begin{matrix} y e^{- y} = \frac{3 e^{- 4}}{x e^{- x}} ≧ 3 e^{- 3} . & (1) \end{matrix}$ 関数 $y e^{- y}$ は $y > 1$ で狭義に減少し， $y = 3$ で $3 e^{- 3}$ となる。したがって (1) から $y ≦ 3$ であり，最大値は $3$ である。

$y = 3$ のとき条件は $x e^{- x} = e^{- 1}$ となるので，等号条件から $x = 1$ である。よって $y_{\max} = 3, x = 1.$

総評

$x e^{- x}$ の増減表を3問すべてに使い回す関数問題。目安時間は18分。(1) では負の $k$ ， $k = 0$ ，正の $k$ を区別し， $x \to \infty$ の極限が0でも0には戻らないことを確認する。(2) は積の最大値と等号条件の一意性がポイントである。(3) は $y$ を固定して $x$ の存在条件に変換すると見通しがよく，最大の $y$ は $y e^{- y}$ の減少側で $3 / e^{3}$ になる点として決まる。増減表と基本不等式で $c = e^{- 2}$ および $(x, y) = (1, 3)$ が一致した。増減表と基本不等式で $c = e^{- 2}$ および $(x, y) = (1, 3)$ が一致した。増減表と基本不等式で $c = e^{- 2}$ および $(x, y) = (1, 3)$ が一致した。

出典: 北海道大学 2023年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

北海道大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

北海道大学 2023年度前期日程第2次学力試験理系数学第3問