北海道大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
点 $P$ と点 $Q$ が一致する条件は $$\cos 2t=\sin t,\cos t=\sin 2t$$ である。第2式は $\cos t=2\sin t\cos t$ すなわち $\cos t(1-2\sin t)=0$ である。

まず $\cos t=0$ のとき，$$t=\frac{\pi }{2}+k\pi$$ である。このうち $t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2k\pi$ では $$\cos 2t=\cos \pi =-1,\sin t=1$$ となり第1式を満たさない。一方，$t={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+2k\pi$ では $$\cos 2t=\cos 3\pi =-1,\sin t=-1$$ となり第1式も満たす。

次に $1-2\sin t=0$，すなわち $\sin t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき，$$t=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,t=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$$ である。このとき，いずれも $\cos 2t=\frac{1}{2}=\sin t$ となり，第1式も満たす。

したがって，求める $t$ は$$t=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi (k\text{ は整数})$$である。

(2)
$P=(x,y)$ とおく。定義より $$y=\cos t,x=\cos 2t=2{\cos }^{2}t-1$$ であるから，$x=2y^2-1$ を得る。

また，$0<t<2\pi$ で $y=\cos t$ が動く範囲は $-1\leqq y<1$ である。$y=-1$ は $t=\pi$ で実際にとるが，$y=1$ は $t=0,2\pi$ でしかとらないため，この範囲には含まれない。したがって軌跡は $$x=2y^2-1(-1\leqq y<1)$$ で表される放物線である。頂点は $(-1,0)$，点 $(1,-1)$ は含まれ，点 $(1,1)$ は含まれない。

$x$ 軸との共有点は $y=0$ として $x=-1$ より $(-1,0)$ である。$y$ 軸との共有点は $x=0$ として $2y^2-1=0$ より $(0,\frac{1}{\sqrt{2}}),(0,-\frac{1}{\sqrt{2}})$ である。

【軌跡】

軌跡は放物線 $x=2y^2-1$ のうち $-1\leqq y<1$ の部分である。上端だけが開いている。