北海道大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
$n$ 回の持ち点が2以下になる場合を，合計が0，1，2の場合に分けて数える。各試行は8つの面が同様に確からしく，0の面は5つ，1，2，3の面はそれぞれ1つである。

合計が0になるには，すべて0が出ればよいので $5^n$ 通りである。

合計が1になるには，1が1回だけ出て，残りがすべて0であればよい。1の出る位置は $n$ 通りで，残りは0の面を選ぶので $n{5}^{n-1}$ 通りである。

合計が2になる場合は2種類ある。1つは，2が1回だけ出て，残りがすべて0の場合で，$n{5}^{n-1}$ 通りである。もう1つは，1が2回出て，残りがすべて0の場合で，${}_n{\mathrm{C}}_2{5}^{n-2}$ 通りである。

したがって，持ち点が2以下である確率は $\frac{5^n+2n{5}^{n-1}+{}_n{\mathrm{C}}_2{5}^{n-2}}{8^n}$ である。

(2)
まず，4回行った後の持ち点が10以上となる場合を数える。4回の最大持ち点は12である。

持ち点12は $(3,3,3,3)$ の1通りである。持ち点11は，3が3回，2が1回出る場合で，2の位置により $4$ 通りである。持ち点10は，$(3,3,3,1)$ の並べ替え4通りと，$(3,3,2,2)$ の並べ替え $6$ 通りで，合わせて $10$ 通りである。よって条件「4回後の持ち点が10以上」を満たす場合は $10+4+1=15$ 通りである。

次に，この条件のもとでさらに2回行い，最終的に17以上となる場合を数える。4回後の持ち点が10のとき，追加2回の最大は6なので17以上には届かない。4回後の持ち点が11のときは追加で6が必要であり，これは $(3,3)$ の1通りである。4回後の持ち点が12のときは追加で5以上が必要であり，$(2,3),(3,2),(3,3)$ の3通りである。

したがって，条件付き確率の分子にあたる場合の数は $4\cdot 1+1\cdot 3=7$ 通りである。条件側の15通りそれぞれについて，追加2回の出方は $8^2=64$ 通りあるので，求める条件付き確率は $$\frac{7}{15\cdot 64}=\frac{7}{960}$$ である。

【問2の得点別整理】$$\begin{array}{cccc}4\text{回後の得点}& \text{並びの数}& \text{追加2回に必要な得点}& \text{成功する追加出目の数}\\ 10& 10& 7\text{以上}& 0\\ 11& 4& 6& (3,3)\text{ の }1\\ 12& 1& 5\text{以上}& (2,3),(3,2),(3,3)\text{ の }3\end{array}$$したがって成功拡張列は $$10\cdot 0+4\cdot 1+1\cdot 3=7$$ 通りである。