問題
三角形が，，，をみたしているとする。三角形の内接円の中心をとし，この内接円と辺の接点をとする。
(1) 辺の長さを求めよ。
(2) をとを用いて表せ。
(3) をとを用いて表せ。
出典：北海道大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 理系 数学β 第4問
方針
(1) を二乗して を求める。(2) 内心を，各頂点に向かい合う辺長で重み付けした位置ベクトルとして表す。(3) 半周長から接線長 を出し， を計算する。
解答
(1)
であるから，
条件を代入すると である。したがって より，辺 の長さは である。
(2)
三角形の辺の長さは である。内心は，各頂点の位置ベクトルを，その頂点に向かい合う辺の長さで重みづけした点である。頂点 に向かい合う辺の長さはそれぞれ ，， である。
の位置ベクトルは なので，
である。よって
である。
(3)
内接円が辺 と接する点を とする。頂点 から辺 と に引いた2本の接線の長さは等しい。半周長は であるから，頂点 からの接線長は である。
は辺 上にあり， なので である。したがって
よって
である。
【内心と接点の位置】
である。 は図から確認でき，求めたベクトルの内積が0になることも検算できる。