北海道大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$$ であるから，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}{\mathrm{\mid }}^2-2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}\mathrm{.}}\end{array}$$条件を代入すると $$25=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}{\mathrm{\mid }}^2+9-20$$ である。したがって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}{\mathrm{\mid }}^2=36$$ より，辺 $OB$ の長さは $6$ である。

(2)
三角形の辺の長さは $$OA=3,OB=6,AB=5$$ である。内心は，各頂点の位置ベクトルを，その頂点に向かい合う辺の長さで重みづけした点である。頂点 $O,A,B$ に向かい合う辺の長さはそれぞれ $AB=5$，$OB=6$，$OA=3$ である。

$O$ の位置ベクトルは $\vec{0}$ なので，$$\overrightarrow{OI}=\frac{5\overrightarrow{OO}+6\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{5+6+3}=\frac{6\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{14}$$である。よって$$\overrightarrow{OI}=\frac{3}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{14}\overrightarrow{OB}$$である。

(3)
内接円が辺 $OA$ と接する点を $H$ とする。頂点 $O$ から辺 $OA$ と $OB$ に引いた2本の接線の長さは等しい。半周長は $$\frac{OA+OB+AB}{2}=\frac{3+6+5}{2}=7$$ であるから，頂点 $O$ からの接線長は $$OH=\frac{OA+OB-AB}{2}=\frac{3+6-5}{2}=2$$ である。

$H$ は辺 $OA$ 上にあり，$OA=3$ なので $$\overrightarrow{OH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{HI}}& {\displaystyle =\overrightarrow{OI}-\overrightarrow{OH}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\frac{3}{7}-\frac{2}{3})\overrightarrow{OA}+\frac{3}{14}\overrightarrow{OB}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{5}{21}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{14}\overrightarrow{OB}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\overrightarrow{HI}=-\frac{5}{21}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{14}\overrightarrow{OB}$$である。

【内心と接点の位置】

$OH=(OA+OB-AB)\mathrm{/}2=2$ である。$HI\perp OA$ は図から確認でき，求めたベクトルの内積が0になることも検算できる。