北海道大学 2024年度
理系数学 数学β 第5問

解答

(1)

接点の $x$ 座標を $a$ とする。まず $f^{\prime }(x)=\log (x+2)+\frac{x}{x+2}$ である。接線の方程式は $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$ であり，これが原点を通るための条件は $0=f^{\prime }(a)(0-a)+f(a)$ すなわち $f(a)=a{f}^{\prime }(a)$ である。

これを代入すると $a\log (a+2)+1=a\left\{\log (a+2)+\frac{a}{a+2}\right\}$ である。両辺の $a\log (a+2)$ が消えて $1=\frac{a^2}{a+2}$ となる。$a>-2$ であるから分母は正であり，$a^2=a+2$ すなわち $(a-2)(a+1)=0$ である。よって候補は $a=2,a=-1$ である。

$a=-1$ のとき，接線の傾きは $f^{\prime }(-1)=\log 1-1=-1$ で負である。したがって条件に合わない。$a=2$ のとき，傾きは $f^{\prime }(2)=\log 4+\frac{1}{2}$ で正である。よって求める直線 $l$ は $y=\left(\log 4+\frac{1}{2}\right)x$ である。

(2)

(1)で求めた $f^{\prime }(x)=\log (x+2)+\frac{x}{x+2}$ をさらに微分すると，$f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x+2}+\frac{2}{(x+2{)}^2}=\frac{x+4}{(x+2{)}^2}$ である。定義域は $x>-2$ なので，$x+4>2>0,(x+2{)}^2>0$ である。したがって $f^{\prime \prime }(x)>0$ であり，曲線 $C$ は下に凸である。

(3)

(2)より，曲線 $C$ は任意の接線の上側にある。したがって，$C$ と接線 $l$ および $y$ 軸で囲まれた部分の面積は ${\int }_0^2\left\{x\log (x+2)+1-\left(\log 4+\frac{1}{2}\right)x\right\}dx$ である。

まず ${\int }_0^{2}x\log (x+2)dx$ を計算する。$u=x+2$ とおくと，$x=u-2$ であり，$x=0$ のとき $u=2$，$x=2$ のとき $u=4$ である。よって

ここで

であるから，計算して ${\int }_0^{2}x\log (x+2)dx=1+2\log 2$ を得る。

したがって面積 $S$ は

よって，求める面積は $2-2\log 2$ である。

【凸性と面積領域】

$f^{\prime \prime }>0$ なので曲線は接線の上側にあり，$0\leqq x\leqq 2$ で差を積分すれば符号を誤らない。