北海道大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
接点の $x$ 座標を $a$ とする。まず $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\log (x+2)+\frac{x}{x+2}$$ である。接線の方程式は $y=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)$ であり，これが原点を通るための条件は $0=f^{\mathrm{\prime }}(a)(0-a)+f(a)$ すなわち $f(a)=a{f}^{\mathrm{\prime }}(a)$ である。

これを代入すると $$a\log (a+2)+1=a\{\log (a+2)+\frac{a}{a+2}\}$$ である。両辺の $a\log (a+2)$ が消えて $$1=\frac{a^2}{a+2}$$ となる。$a>-2$ であるから分母は正であり，$a^2=a+2$ すなわち $(a-2)(a+1)=0$ である。よって候補は $a=2,a=-1$ である。

$a=-1$ のとき，接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(-1)=\log 1-1=-1$ で負である。したがって条件に合わない。$a=2$ のとき，傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(2)=\log 4+\frac{1}{2}$ で正である。よって求める直線 $l$ は $$y=(\log 4+\frac{1}{2})x$$ である。

(2)
(1)で求めた $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\log (x+2)+\frac{x}{x+2}$$ をさらに微分すると，$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{x+2}+\frac{2}{(x+2{)}^2}=\frac{x+4}{(x+2{)}^2}$$ である。定義域は $x>-2$ なので，$$x+4>2>0,(x+2{)}^2>0$$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ であり，曲線 $C$ は下に凸である。

(3)
(2)より，曲線 $C$ は任意の接線の上側にある。したがって，$C$ と接線 $l$ および $y$ 軸で囲まれた部分の面積は ${\int }_0^2\{x\log (x+2)+1-(\log 4+\frac{1}{2})x\}dx$ である。

まず ${\int }_0^{2}x\log (x+2)dx$ を計算する。$u=x+2$ とおくと，$x=u-2$ であり，$x=0$ のとき $u=2$，$x=2$ のとき $u=4$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{2}x\log (x+2)dx}& {\displaystyle ={\int }_2^4(u-2)\log udu}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_2^{4}u\log udu-2{\int }_2^4\log udu\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$\int u\log udu=\frac{u^2}{2}\log u-\frac{u^2}{4},\int \log udu=u\log u-u$$であるから，計算して $${\int }_0^{2}x\log (x+2)dx=1+2\log 2$$ を得る。

したがって面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =(1+2\log 2)+{\int }_0^{2}1dx-(\log 4+\frac{1}{2}){\int }_0^{2}xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1+2\log 2)+2-(\log 4+\frac{1}{2})\cdot 2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3+2\log 2-2\log 4-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-2\log 2.}\end{array}$$よって，求める面積は $2-2\log 2$ である。

【凸性と面積領域】

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}>0$ なので曲線は接線の上側にあり，$0\leqq x\leqq 2$ で差を積分すれば符号を誤らない。