北海道大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
漸化式 $a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+1$ について，両辺から2を引くと $$a_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n-2)$$ である。したがって数列 $a_n-2$ は初項 $a_1-2=\alpha -2$ 公比 $1\mathrm{/}2$ の等比数列である。よって $$a_n-2=(\alpha -2){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$ となり，$$a_n=2+\frac{\alpha -2}{2^{n-1}}$$ である。

(2) $I_n={\int }_0^1{f}_n(t)dt$ とおく。定義より $$f_{n+1}(x)=(n+2)x^{n+1}+I_{n}x$$ である。両辺を $0$ から $1$ まで積分すると，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_{n+1}}& {\displaystyle ={\int }_0^1(n+2)x^{n+1}dx+I_n{\int }_0^{1}xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+\frac{1}{2}{I}_n\mathrm{.}}\end{array}$$また $$I_1={\int }_0^{1}3tdt=\frac{3}{2}$$ である。

これは(1)と同じ形の漸化式であり，固定値は2である。したがって $$I_n=2+\frac{I_1-2}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^n}$$ である。

いま，定義式を $n-1$ に対して用いると，$n\geqq 2$ で $$f_n(x)=(n+1)x^n+I_{n-1}x$$ である。上で求めた式から $$I_{n-1}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$$ なので，$$f_n(x)=(n+1)x^n+(2-\frac{1}{2^{n-1}})x$$ である。$n=1$ のときも右辺は $2x+(2-1)x=3x$ となり，$f_1(x)=3x$ と一致する。よってすべての正の整数 $n$ について $$f_n(x)=(n+1)x^n+(2-\frac{1}{2^{n-1}})x$$ である。

標準解法で得た形を予想し，$f_n$ の積分を実行してそのまま $f_{n+1}$ へ代入する。補助数列 $I_n$ を明示的に解かない検算用の証明である。

(1)
固定値2を引けば等比数列となるので$$a_n=2+\frac{\alpha -2}{2^{n-1}}$$である。

(2) $$\begin{array}{cccc}& f_n(x)=(n+1)x^n+(2-\frac{1}{2^{n-1}})x& & \text{(*)}\end{array}$$を示す。$n=1$ では右辺は $2x+(2-1)x=3x=f_1(x)$ である。

ある $n$ で (*) が成り立つと仮定すると$${\int }_0^1{f}_n(t)dt=1+\frac{1}{2}(2-\frac{1}{2^{n-1}})=2-\frac{1}{2^n}\mathrm{.}$$よって定義式から$$f_{n+1}(x)=(n+2)x^{n+1}+(2-\frac{1}{2^n})x,$$となり，$n+1$ でも (*) が成り立つ。数学的帰納法によりすべての正整数 $n$ で (*) が成立する。