北海道大学 2024年度理系数学数学β 第3問解答・解説

問題

次の問に答えよ。

(1) $α$ を実数とする。次のように定められた数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

a_{1} = α a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 1 (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

(2) 関数 $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x), \dots\dots$ を次の関係式で定める。

f_{1} (x) = 3 x

f_{n + 1} (x) = (n + 2) x^{n + 1} + (\int_{0}^{1} f_{n} (t) d t) x (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

関数 $f_{n} (x)$ を $x$ と $n$ の式で表せ。

出典：北海道大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系数学β 第3問

方針

標準解法（積分値を同型の漸化式にする）

(1) 固定値2を引いて等比数列にする。(2) $I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (t) d t$ とおく。定義式を積分すると $I_{n + 1} = 1 + I_{n} /2$ となり，(1)と同じ漸化式になる。 $I_{n}$ を求めて定義式へ戻し，最後に $n = 1$ でも公式が成立することを確認する。

別解（関数列の公式を直接帰納法で証明）

標準解法で得た形を予想し， $f_{n}$ の積分を実行してそのまま $f_{n + 1}$ へ代入する。補助数列 $I_{n}$ を明示的に解かない検算用の証明である。

解答

標準解法（積分値を同型の漸化式にする）

(1)

漸化式 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 1$ について，両辺から2を引くと $a_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2} (a_{n} - 2)$ である。したがって数列 $a_{n} - 2$ は初項 $a_{1} - 2 = α - 2$ 公比 $1/2$ の等比数列である。よって $a_{n} - 2 = (α - 2) (\frac{1}{2})^{n - 1}$ となり， $a_{n} = 2 + \frac{α - 2}{2 ^{n - 1}}$ である。

(2)

$I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (t) d t$ とおく。定義より $f_{n + 1} (x) = (n + 2) x^{n + 1} + I_{n} x$ である。両辺を $0$ から $1$ まで積分すると，

I_{n + 1} = \int_{0}^{1} (n + 2) x^{n + 1} d x + I_{n} \int_{0}^{1} x d x = 1 + \frac{1}{2} I_{n} .

また $I_{1} = \int_{0}^{1} 3 t d t = \frac{3}{2}$ である。

これは(1)と同じ形の漸化式であり，固定値は2である。したがって $I_{n} = 2 + \frac{I _{1} - 2}{2 ^{n - 1}} = 2 - \frac{1}{2 ^{n}}$ である。

いま，定義式を $n - 1$ に対して用いると， $n ≧ 2$ で $f_{n} (x) = (n + 1) x^{n} + I_{n - 1} x$ である。上で求めた式から $I_{n - 1} = 2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}$ なので， $f_{n} (x) = (n + 1) x^{n} + (2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) x$ である。 $n = 1$ のときも右辺は $2 x + (2 - 1) x = 3 x$ となり， $f_{1} (x) = 3 x$ と一致する。よってすべての正の整数 $n$ について $f_{n} (x) = (n + 1) x^{n} + (2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) x$ である。

別解（関数列の公式を直接帰納法で証明）

(1)

固定値2を引けば等比数列となるので

a_{n} = 2 + \frac{α - 2}{2 ^{n - 1}}

である。

(2)

f_{n} (x) = (n + 1) x^{n} + (2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) x (*)

を示す。 $n = 1$ では右辺は $2 x + (2 - 1) x = 3 x = f_{1} (x)$ である。

ある $n$ で (*) が成り立つと仮定すると

\int_{0}^{1} f_{n} (t) d t = 1 + \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) = 2 - \frac{1}{2 ^{n}} .

よって定義式から

f_{n + 1} (x) = (n + 2) x^{n + 1} + (2 - \frac{1}{2 ^{n}}) x,

となり， $n + 1$ でも (*) が成り立つ。数学的帰納法によりすべての正整数 $n$ で (*) が成立する。

北海道大学 2024年度理系数学 数学β 第3問

問題

方針

標準解法（積分値を同型の漸化式にする）

別解（関数列の公式を直接帰納法で証明）

解答

標準解法（積分値を同型の漸化式にする）

(1)

(2)

別解（関数列の公式を直接帰納法で証明）

(1)

(2)

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理系数学数学β 第3問