北海道大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
3と5以外の目が出る確率は $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ であり、このとき持ち点は2倍される。3の目または5の目が出る確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ であり、このときは2の因数は増えない。

3回の試行のうち、2倍される回数を $X$ とする。最後の持ち点が4の倍数となるには、2の因数が少なくとも2個必要なので、$X\geqq 2$ であればよい。したがって求める確率は$${}_3{\mathrm{C}}_2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\left(\frac{1}{3}\right)+{\left(\frac{2}{3}\right)}^3$$である。これを計算して$$3\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{1}{3}+\frac{8}{27}=\frac{4}{9}+\frac{8}{27}=\frac{20}{27}$$となる。

(2)
4回の試行後の持ち点は $2^a{3}^b{5}^c$ と表される。ただし、$a$ は3と5以外の目が出た回数、$b$ は3の目が出た回数、$c$ は5の目が出た回数であり、$a+b+c=4$ である。

この数が平方数となるには、素因数分解におけるすべての指数が偶数であればよい。よって $(a,b,c)$ は $(4,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(2,2,0),(2,0,2),(0,2,2)$ のいずれかである。

それぞれの確率を足し合わせる。まず $$P(4,0,0)={\left(\frac{2}{3}\right)}^4$$ である。また $$P(0,4,0)+P(0,0,4)=2{\left(\frac{1}{6}\right)}^4$$ である。さらに$$P(2,2,0)+P(2,0,2)=2\cdot \frac{4!}{2!2!}{\left(\frac{2}{3}\right)}^2{\left(\frac{1}{6}\right)}^2$$であり、$$P(0,2,2)=\frac{4!}{2!2!}{\left(\frac{1}{6}\right)}^4$$ である。

したがって求める確率は$${\left(\frac{2}{3}\right)}^4+2{\left(\frac{1}{6}\right)}^4+2\cdot \frac{4!}{2!2!}{\left(\frac{2}{3}\right)}^2{\left(\frac{1}{6}\right)}^2+\frac{4!}{2!2!}{\left(\frac{1}{6}\right)}^4\mathrm{.}$$整理すると$$\frac{16}{81}+\frac{2}{1296}+\frac{4}{27}+\frac{1}{216}=\frac{128+1+96+3}{648}=\frac{19}{54}$$である。