北海道大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
漸化式より $$a_{n+1}=\frac{2}{a_n+1}$$ である。したがって$$b_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}+2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{a_n+1}}+2}=\frac{a_n+1}{2(a_n+2)}$$となる。

ここで $$\frac{a_n+1}{a_n+2}=1-\frac{1}{a_n+2}=1-b_n$$ であるから、$b_{n+1}=\frac{1}{2}(1-b_n)$ である。

(2)
(1)より $$b_{n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{b}_n$$ である。この漸化式の一定値を $c$ とおくと $c=\frac{1}{2}(1-c)$ より $c=\frac{1}{3}$ である。したがって $$b_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}(b_n-\frac{1}{3})$$ となる。

また $$b_1=\frac{1}{a_1+2}=\frac{1}{6}$$ であるから、$b_1-\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$ である。よって$$b_n-\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}{(-\frac{1}{2})}^{n-1}=\frac{(-1{)}^n}{3\cdot 2^n}$$となり、$$b_n=\frac{1}{3}+\frac{(-1{)}^n}{3\cdot 2^n}=\frac{2^n+(-1{)}^n}{3\cdot 2^n}$$ を得る。

したがって$$a_n=\frac{1}{b_n}-2=\frac{3\cdot 2^n}{2^n+(-1{)}^n}-2=\frac{2^n-2(-1{)}^n}{2^n+(-1{)}^n}$$である。