北海道大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $a_1=-8$ であるから、$a_1\mathrm{\ne }-2$ である。

ある正の整数 $n$ について $a_n\mathrm{\ne }-2$ と仮定する。もし $a_{n+1}=-2$ ならば、漸化式 $a_{n+1}(a_n+1)=2$ に代入して $-2(a_n+1)=2$ となり、$a_n=-2$ を得る。これは仮定に反するので、$a_{n+1}\mathrm{\ne }-2$ である。

以上より、数学的帰納法によって $$a_n\mathrm{\ne }-2(n=1,2,3,\dots )$$ が成り立つ。

(2)
(1)より $a_n+2\mathrm{\ne }0$ であるから、$b_n$ は定義できる。漸化式から $$a_{n+1}=\frac{2}{a_n+1}$$ であり、$$b_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}+2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{a_n+1}}+2}=\frac{a_n+1}{2(a_n+2)}$$となる。さらに $$\frac{a_n+1}{a_n+2}=1-\frac{1}{a_n+2}=1-b_n$$ であるから、$b_{n+1}=\frac{1}{2}(1-b_n)$ である。

(3)
(2)より $$b_{n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{b}_n$$ である。この漸化式の固定値は $c=\frac{1}{2}(1-c)$ を満たすので、$c=\frac{1}{3}$ である。したがって $$b_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}(b_n-\frac{1}{3})$$ である。

初項は $$b_1=\frac{1}{a_1+2}=\frac{1}{-6}=-\frac{1}{6}$$ であるから、$b_1-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}$ である。よって$$b_n-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}{(-\frac{1}{2})}^{n-1}={(-\frac{1}{2})}^n$$となり、$$b_n=\frac{1}{3}+{(-\frac{1}{2})}^n=\frac{2^n+3(-1{)}^n}{3\cdot 2^n}$$ を得る。

したがって$$a_n=\frac{1}{b_n}-2=\frac{3\cdot 2^n}{2^n+3(-1{)}^n}-2=\frac{2^n-6(-1{)}^n}{2^n+3(-1{)}^n}$$である。