北海道大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
不定積分を求める。次の式を微分すると$$\frac{d}{dx}\left\{\frac{e^{ax}\{a\sin (nx)-n\cos (nx)\}}{a^2+n^2}\right\}=e^{ax}\sin (nx)$$である。実際，分子を微分すると $a{e}^{ax}\{a\sin (nx)-n\cos (nx)\}+e^{ax}\{an\cos (nx)+n^2\sin (nx)\}$ となり，$\cos (nx)$ の項が打ち消され，$(a^2+n^2)e^{ax}\sin (nx)$ が残る。したがって $$\int e^{ax}\sin (nx)dx=\frac{e^{ax}\{a\sin (nx)-n\cos (nx)\}}{a^2+n^2}$$ である。

これを $0$ から $2\pi$ まで代入する。$n$ は自然数なので $$\sin (2\pi n)=0,\cos (2\pi n)=1,\sin 0=0,\cos 0=1$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I(a,n)}& {\displaystyle ={\left[\frac{e^{ax}\{a\sin (nx)-n\cos (nx)\}}{a^2+n^2}\right]}_0^{2\pi }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{-n{e}^{2\pi a}}{a^2+n^2}-\frac{-n}{a^2+n^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n(1-e^{2\pi a})}{a^2+n^2}}\end{array}$$である。$a=0$ の場合もこの式は $0$ を与え，直接の積分結果と一致する。

(2) $$a_n=\frac{\log n}{2\pi }$$ であるから $$e^{2\pi a_n}=e^{\log n}=n$$ である。(1) の結果より $$I(a_n,n)=\frac{n(1-n)}{a_n^2+n^2}$$ である。分子分母を $n^2$ で割ると $$I(a_n,n)=\frac{\frac{1}{n}-1}{1+{\left(\frac{a_n}{n}\right)}^2}$$ である。ここで $$\frac{a_n}{n}=\frac{\log n}{2\pi n}\to 0$$ であるから $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }I(a_n,n)=\frac{0-1}{1+0}=-1$$ である。

$I=\int e^{ax}\sin (nx)dx$ と、途中で現れる余弦積分 $J$ を部分積分で結び、連立して $I$ を求める。公式の誘導意図に沿い、端点で三角関数が簡単になることを使う。

(1) $$I={\int }_0^{2\pi }{e}^{ax}\sin (nx)dx,J={\int }_0^{2\pi }{e}^{ax}\cos (nx)dx$$とおく。$\sin (nx)$ を積分する形で部分積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={[-\frac{1}{n}{e}^{ax}\cos (nx)]}_0^{2\pi }+\frac{a}{n}J}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1-e^{2\pi a}}{n}+\frac{a}{n}J}\end{array}$$である。一方、$\cos (nx)$ を積分する形で部分積分すると$$J={[\frac{1}{n}{e}^{ax}\sin (nx)]}_0^{2\pi }-\frac{a}{n}I=-\frac{a}{n}I$$となる。これを最初の式へ代入して$$I=\frac{1-e^{2\pi a}}{n}-\frac{a^2}{n^2}I$$より$$I(a,n)=\frac{n(1-e^{2\pi a})}{a^2+n^2}$$を得る。$a=0$ の場合にも両辺は0で一致する。

(2) $$a_n=\frac{\log n}{2\pi }$$ なので $e^{2\pi a_n}=n$ である。したがって$$I(a_n,n)=\frac{n(1-n)}{a_n^2+n^2}=\frac{\frac{1}{n}-1}{1+{\left(\frac{\log n}{2\pi n}\right)}^2}\mathrm{.}$$$\frac{\log n}{n}\to 0$ より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }I(a_n,n)=-1$$である。