北海道大学 2025年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

実数 $a$ および自然数 $n$ に対して，定積分

I (a, n) = \int_{0}^{2 π} e^{a x} sin (n x) d x

を考える。ここで $e$ は自然対数の底である。

(1) $I (a, n)$ を求めよ。

(2) $a_{n} = \frac{lo g n}{2 π} (n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ のとき，極限 $n \to \infty lim I (a_{n}, n)$ を求めよ。ただし， $lo g n$ は $n$ の自然対数である。また，必要ならば $n \to \infty lim \frac{lo g n}{n} = 0$ であることを用いてもよい。

出典：北海道大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

解法1（原始関数を直接確認）

指数関数と三角関数の積の積分は， $e^{a x} (A sin n x + B cos n x)$ の形を微分して係数を合わせるか，部分積分を2回行って求める。評価点 $0, 2 π$ では $sin (2 π n) = 0$ ， $cos (2 π n) = 1$ を使う。(2) は $a_{n} = (lo g n) / (2 π)$ により $e^{2 π a_{n}} = n$ となるので，(1) の式に代入し，分子分母を $n^{2}$ で割って $(lo g n) / n \to 0$ を使う。

解法2（部分積分を2回用いる方法）

$I = \int e^{a x} sin (n x) d x$ と、途中で現れる余弦積分 $J$ を部分積分で結び、連立して $I$ を求める。公式の誘導意図に沿い、端点で三角関数が簡単になることを使う。

解答

解法1（原始関数を直接確認）

(1)

不定積分を求める。次の式を微分すると

\frac{d}{d x} {\frac{e ^{a x} { a sin ( n x ) - n cos ( n x )}}{a ^{2} + n ^{2}}} = e^{a x} sin (n x)

である。実際，分子を微分すると $a e^{a x} {a sin (n x) - n cos (n x)} + e^{a x} {an cos (n x) + n^{2} sin (n x)}$ となり， $cos (n x)$ の項が打ち消され， $(a^{2} + n^{2}) e^{a x} sin (n x)$ が残る。したがって $\int e^{a x} sin (n x) d x = \frac{e ^{a x} { a s i n ( n x ) - n c o s ( n x )}}{a ^{2} + n ^{2}}$ である。

これを $0$ から $2 π$ まで代入する。 $n$ は自然数なので $sin (2 π n) = 0, cos (2 π n) = 1, sin 0 = 0, cos 0 = 1$ である。よって

I (a, n) = [\frac{e ^{a x} { a sin ( n x ) - n cos ( n x )}}{a ^{2} + n ^{2}}]_{0}^{2 π} = \frac{- n e ^{2 π a}}{a ^{2} + n ^{2}} - \frac{- n}{a ^{2} + n ^{2}} = \frac{n ( 1 - e ^{2 π a} )}{a ^{2} + n ^{2}}

である。 $a = 0$ の場合もこの式は $0$ を与え，直接の積分結果と一致する。

(2)

$a_{n} = \frac{l o g n}{2 π}$ であるから $e^{2 π a_{n}} = e^{l o g n} = n$ である。(1) の結果より $I (a_{n}, n) = \frac{n ( 1 - n )}{a _{n}^{2} + n ^{2}}$ である。分子分母を $n^{2}$ で割ると $I (a_{n}, n) = \frac{\frac{1}{n} - 1}{1 + ( \frac{a _{n}}{n} ) ^{2}}$ である。ここで $\frac{a _{n}}{n} = \frac{l o g n}{2 π n} \to 0$ であるから $lim_{n \to \infty} I (a_{n}, n) = \frac{0 - 1}{1 + 0} = - 1$ である。

解法2（部分積分を2回用いる方法）

(1)

I = \int_{0}^{2 π} e^{a x} sin (n x) d x, J = \int_{0}^{2 π} e^{a x} cos (n x) d x

とおく。 $sin (n x)$ を積分する形で部分積分すると

I = [- \frac{1}{n} e^{a x} cos (n x)]_{0}^{2 π} + \frac{a}{n} J = \frac{1 - e ^{2 π a}}{n} + \frac{a}{n} J

である。一方、 $cos (n x)$ を積分する形で部分積分すると

J = [\frac{1}{n} e^{a x} sin (n x)]_{0}^{2 π} - \frac{a}{n} I = - \frac{a}{n} I

となる。これを最初の式へ代入して

I = \frac{1 - e ^{2 π a}}{n} - \frac{a ^{2}}{n ^{2}} I

より

I (a, n) = \frac{n ( 1 - e ^{2 π a} )}{a ^{2} + n ^{2}}

を得る。 $a = 0$ の場合にも両辺は0で一致する。

(2)

$a_{n} = \frac{l o g n}{2 π}$ なので $e^{2 π a_{n}} = n$ である。したがって

I (a_{n}, n) = \frac{n ( 1 - n )}{a _{n}^{2} + n ^{2}} = \frac{\frac{1}{n} - 1}{1 + ( \frac{l o g n}{2 π n} ) ^{2}} .

$\frac{l o g n}{n} \to 0$ より

n \to \infty lim I (a_{n}, n) = - 1

である。

北海道大学 2025年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解法1（原始関数を直接確認）

解法2（部分積分を2回用いる方法）

解答

解法1（原始関数を直接確認）

(1)

(2)

解法2（部分積分を2回用いる方法）

(1)

(2)

北海道大学 2025年度
理系数学前期第3問