北海道大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
点 $P(p,q)$ について $$OP=\sqrt{p^2+q^2}$$ である。$p^2+q^2>1$ なので，点 $P$ は円 $C_1:x^2+y^2=1$ の外部にある。

接点を $Q$ とする。位置関係は次の模式図のようになる。

円の接線は接点で半径に垂直であるから $OQ\perp PQ$ である。また $Q$ は単位円上の点なので $OQ=1$ である。したがって直角三角形 $OPQ$ において $$P{Q}^2=O{P}^2-O{Q}^2=p^2+q^2-1$$ であり，$$PQ=\sqrt{p^2+q^2-1}$$ である。

2つの接線の接点を $Q_1,Q_2$ とすると，$P{Q}_1=P{Q}_2$ であり，四角形 $O{Q}_{1}P{Q}_2$ は直角三角形 $OP{Q}_1$ と $OP{Q}_2$ に分けられる。それぞれの面積は $$\frac{1}{2}\cdot O{Q}_i\cdot P{Q}_i=\frac{1}{2}\sqrt{p^2+q^2-1}$$ である。よって四角形の面積は $$S=2\cdot \frac{1}{2}\sqrt{p^2+q^2-1}=\sqrt{p^2+q^2-1}$$ である。

(2)
点 $P(p,q)$ が楕円 $$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$$ 上を動くので，ある実数 $\theta$ を用いて $$p=\sqrt{2}\cos \theta ,q=\sqrt{3}\sin \theta$$ と表せる。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p^2+q^2}& {\displaystyle =2{\cos }^2\theta +3{\sin }^2\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(1-{\sin }^2\theta )+3{\sin }^2\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+{\sin }^2\theta }\end{array}$$である。したがって $$S=\sqrt{p^2+q^2-1}=\sqrt{1+{\sin }^2\theta }$$ である。 $$0\leqq {\sin }^2\theta \leqq 1$$ だから $1\leqq S\leqq \sqrt{2}$ である。${\sin }^2\theta =0$ は $(p,q)=(\pm \sqrt{2},0)$ で実現し，${\sin }^2\theta =1$ は $(p,q)=(0,\pm \sqrt{3})$ で実現する。よって $$S_{\min }=1,S_{\max }=\sqrt{2}$$ である。