北海道大学 2025年度
理系数学 前期 第4問

解答

解法1（実部・虚部による座標計算）

(1)

$z=x+yi$ とおく。このとき $|z-1{|}^2=(x-1{)}^2+y^2$ であり，また $(a-2)z+a=((a-2)x+a)+(a-2)yi$ だから $|(a-2)z+a{|}^2=\{(a-2)x+a{\}}^2+(a-2{)}^2{y}^2$ である。両辺は0以上なので，与えられた方程式は，両辺を2乗して $a^2\{(x-1{)}^2+y^2\}=\{(a-2)x+a{\}}^2+(a-2{)}^2{y}^2$ と同値である。

これを整理する。左辺から右辺を引くと $4(a-1)(x^2+y^2-ax)$ となる。したがって $(a-1)(x^2+y^2-ax)=0$ である。いま $a\ne 1$ なので $x^2+y^2=ax$ である。平方完成すると ${\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+y^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2$ となる。よって求める集合は

である。この円は原点と点 $(a,0)$ を通る。

(2)

まず $a=1$ の場合を調べる。このとき $a|z-1|=|(a-2)z+a|$ は $|z-1|=|-z+1|=|z-1|$ となり，すべての $z$ で成り立つ。さらに $|z{|}^2=6-a=5$ を満たす $z$ は存在する。したがって $a=1$ は条件を満たす。

以下，$a\ne 1$ とする。(1)より第2の方程式は $|z{|}^2=x^2+y^2=ax$ と同値である。一方，第1の方程式は $|z{|}^2=6-a$ である。したがって，解が存在するためにはまず $6-a\geqq 0$ が必要である。また $|z{|}^2=6-a$ と $|z{|}^2=ax$ より $x=\frac{6-a}{a}$ である。

半径 $\sqrt{6-a}$ の円 $x^2+y^2=6-a$ 上に，この $x$ 座標をもつ点が存在するための条件は ${\left(\frac{6-a}{a}\right)}^2\leqq 6-a$ である。よって存在条件は $6-a\geqq 0,{\left(\frac{6-a}{a}\right)}^2\leqq 6-a$ である。 $a>0$ である。$6-a=0$ のとき，すなわち $a=6$ のときは $z=0$ が解となる。$6-a>0$ のときは，不等式を $6-a$ で割って $\frac{6-a}{a^2}\leqq 1$ すなわち $a^2+a-6\geqq 0$ である。これは $(a+3)(a-2)\geqq 0$ であり，$a>0$ より $a\geqq 2$ を得る。$6-a\geqq 0$ と合わせて $2\leqq a\leqq 6$ である。

以上より，求める範囲は $a=1,2\leqq a\leqq 6$ である。

例えば $a=4$ のとき、2円の位置関係は次の図のようになる。

解法2（絶対値の恒等式と2円の交点条件）

(1)

$z=x+yi$ とする代わりに実部を用いて整理する。直接展開すると

である。与式の両辺は非負なので、絶対値の等式は2乗後の等式と同値である。$a\ne 1$ より

である。$z=x+yi$ と戻せば

したがって、軌跡は中心 $(a/2,0)$、半径 $a/2$ の円である。

(2)

$a=1$ のとき、絶対値の方程式は恒等的に成り立ち、$|z{|}^2=5$ を満たす $z$ が存在するので適する。

以下 $a\ne 1$ とする。(1) の円を $C_1$、$|z{|}^2=6-a$ が表す円を $C_2$ とする。2円の中心間距離と $C_1$ の半径はいずれも $a/2$、$C_2$ の半径は $\sqrt{6-a}$ である。よってまず $a\leqq 6$ が必要である。2円が共有点をもつ条件

の右側は自明であり、左側は $\sqrt{6-a}\leqq a$ と同値である。したがって

$a>0$ より前者は $a\geqq 2$ となるので、$2\leqq a\leqq 6$ である。特別な場合 $a=1$ を加え、

を得る。端点 $a=2,6$ でも2円は接して共有点をもつ。