北海道大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $z=x+yi$ とおく。このとき $\mathrm{\mid }z-1{\mathrm{\mid }}^2=(x-1{)}^2+y^2$ であり，また $$(a-2)z+a=((a-2)x+a)+(a-2)yi$$ だから $$\mathrm{\mid }(a-2)z+a{\mathrm{\mid }}^2=\{(a-2)x+a{\}}^2+(a-2{)}^2{y}^2$$ である。両辺は0以上なので，与えられた方程式は，両辺を2乗して $$a^2\{(x-1{)}^2+y^2\}=\{(a-2)x+a{\}}^2+(a-2{)}^2{y}^2$$ と同値である。

これを整理する。左辺から右辺を引くと $4(a-1)(x^2+y^2-ax)$ となる。したがって $(a-1)(x^2+y^2-ax)=0$ である。いま $a\mathrm{\ne }1$ なので $x^2+y^2=ax$ である。平方完成すると $${(x-\frac{a}{2})}^2+y^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2$$ となる。よって求める集合は$$\text{中心 }(\frac{a}{2},0),\text{ 半径 }\frac{a}{2}\text{ の円}$$である。この円は原点と点 $(a,0)$ を通る。

(2)
まず $a=1$ の場合を調べる。このとき $a\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }(a-2)z+a\mathrm{\mid }$ は $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-z+1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }$ となり，すべての $z$ で成り立つ。さらに $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=6-a=5$ を満たす $z$ は存在する。したがって $a=1$ は条件を満たす。

以下，$a\mathrm{\ne }1$ とする。(1)より第2の方程式は $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=x^2+y^2=ax$ と同値である。一方，第1の方程式は $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=6-a$ である。したがって，解が存在するためにはまず $6-a\geqq 0$ が必要である。また $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=6-a$ と $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=ax$ より $$x=\frac{6-a}{a}$$ である。

半径 $\sqrt{6-a}$ の円 $x^2+y^2=6-a$ 上に，この $x$ 座標をもつ点が存在するための条件は ${\left(\frac{6-a}{a}\right)}^2\leqq 6-a$ である。よって存在条件は $6-a\geqq 0,{\left(\frac{6-a}{a}\right)}^2\leqq 6-a$ である。 $a>0$ である。$6-a=0$ のとき，すなわち $a=6$ のときは $z=0$ が解となる。$6-a>0$ のときは，不等式を $6-a$ で割って $\frac{6-a}{a^2}\leqq 1$ すなわち $a^2+a-6\geqq 0$ である。これは $(a+3)(a-2)\geqq 0$ であり，$a>0$ より $a\geqq 2$ を得る。$6-a\geqq 0$ と合わせて $2\leqq a\leqq 6$ である。

以上より，求める範囲は $$a=1,2\leqq a\leqq 6$$ である。

例えば $a=4$ のとき、2円の位置関係は次の図のようになる。

絶対値を2乗した差を $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2$ と $\mathrm{Re}z$ でまとめ、軌跡を円として得る。(2) は原点中心の円との交点条件を、中心間距離と半径から判定する。

(1)
$z=x+yi$ とする代わりに実部を用いて整理する。直接展開すると$$a^2\mathrm{\mid }z-1{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }(a-2)z+a{\mathrm{\mid }}^2=4(a-1)\{\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2-a\mathrm{Re}z\}$$である。与式の両辺は非負なので、絶対値の等式は2乗後の等式と同値である。$a\mathrm{\ne }1$ より$$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=a\mathrm{Re}z$$である。$z=x+yi$ と戻せば$$x^2+y^2=ax,{(x-\frac{a}{2})}^2+y^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2\mathrm{.}$$したがって、軌跡は中心 $(a\mathrm{/}2,0)$、半径 $a\mathrm{/}2$ の円である。

(2)
$a=1$ のとき、絶対値の方程式は恒等的に成り立ち、$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=5$ を満たす $z$ が存在するので適する。

以下 $a\mathrm{\ne }1$ とする。(1) の円を $C_1$、$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=6-a$ が表す円を $C_2$ とする。2円の中心間距離と $C_1$ の半径はいずれも $a\mathrm{/}2$、$C_2$ の半径は $\sqrt{6-a}$ である。よってまず $a\leqq 6$ が必要である。2円が共有点をもつ条件$$\mid \frac{a}{2}-\sqrt{6-a}\mid \leqq \frac{a}{2}\leqq \frac{a}{2}+\sqrt{6-a}$$の右側は自明であり、左側は $$\sqrt{6-a}\leqq a$$ と同値である。したがって$$6-a\leqq a^2,a\leqq 6.$$$a>0$ より前者は $a\geqq 2$ となるので、$2\leqq a\leqq 6$ である。特別な場合 $a=1$ を加え、$$a=1\text{または}2\leqq a\leqq 6$$を得る。端点 $a=2,6$ でも2円は接して共有点をもつ。