北海道大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
条件 $k<a<b<c\leqq k+n$ を満たす整数は，$k+1,k+2,\dots ,k+n$ の $n$ 個の整数から異なる3個を選び，小さい順に $a,b,c$ と並べたものにちょうど対応する。したがって選び方の総数は $${}_n{\mathrm{C}}_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$ である。

(2)
まず $n<a<b<c\leqq 2n$ を満たす三つ組 $(a,b,c)$ を考える。このとき $a>n$，$b>a>n$ であるから $a+b>2n$ である。一方，$c\leqq 2n$ なので $a+b>2n\geqq c$ となり，必ず $a+b>c$ を満たす。

このような三つ組の個数は，整数 $n+1,n+2,\dots ,2n$ の $n$ 個から3個を選ぶ個数である。したがって (1) で $k=n$ とした場合にあたり，${}_n{\mathrm{C}}_3$ 個である。よって，少なくとも ${}_n{\mathrm{C}}_3$ 個の三つ組が $a+b>c$ を満たす。

さらに，$n\geqq 3$ であるから $(a,b,c)=(2,n,n+1)$ は $1\leqq 2<n<n+1\leqq 2n$ を満たす。また $a+b=2+n>n+1=c$ であるから，この三つ組も $a+b>c$ を満たす。一方，この三つ組は $a=2\leqq n$ であるため，先ほど数えた $n<a<b<c\leqq 2n$ を満たす三つ組には含まれていない。

したがって，$a+b>c$ を満たす三つ組は，少なくとも ${}_n{\mathrm{C}}_3$ 個に加えて別の1個をもつ。ゆえに $L>{}_n{\mathrm{C}}_3$ である。

(1) は組合せで求める。(2) は最小要素 $a$ を固定し、$c<a+b$ を満たす $(b,c)$ を数える。$a\leqq n$ と $a>n$ で上端 $2n$ の効き方が変わるため、二つの和に分けて正確な $L$ を得る。

(1)
$k+1,k+2,\dots ,k+n$ の $n$ 個から異なる3個を選べば、小さい順への並べ方は一意である。したがって個数は$${}_n{\mathrm{C}}_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$である。

(2)
$a$ を固定する。各 $b$ に対し $b<c\leqq 2n$、$c<a+b$ を満たす $c$ の個数は$$\min \{2n-b,a-1\}$$である。

まず $2\leqq a\leqq n$ のとき、$b=a+1,\dots ,2n-a+1$ では個数が $a-1$、それより大きい $b$ では $2n-b$ である。したがって固定した $a$ に対する個数は$$(2n-2a+1)(a-1)+\sum _{j=1}^{a-2}j=\frac{(a-1)(4n-3a)}{2}\mathrm{.}$$次に $n+1\leqq a\leqq 2n-2$ のときは、すべての $b$ で上端 $2n$ が先に効くので、個数は$$\sum _{j=1}^{2n-a-1}j=\frac{(2n-a-1)(2n-a)}{2}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle =\sum _{a=2}^n\frac{(a-1)(4n-3a)}{2}+\sum _{a=n+1}^{2n-2}\frac{(2n-a-1)(2n-a)}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n(n-1{)}^2}{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n(n-1)(4n-5)}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$L-{}_n{\mathrm{C}}_3=\frac{n(n-1)(4n-5)-n(n-1)(n-2)}{6}=\frac{n(n-1{)}^2}{2}>0$$であり、$L>{}_n{\mathrm{C}}_3$ が従う。

この別解は正確な $L$ まで与えるが、不等式の証明だけなら解法1の方が短い。