北海道大学 2025年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$n$ を3以上の整数とする。

(1) $k$ を整数とする。 $k < a < b < c ≦ k + n$ を満たす整数 $a, b, c$ の選び方の総数を $n$ の式で表せ。

(2) $1 ≦ a < b < c ≦ 2 n$ を満たす整数 $a, b, c$ のうち， $a + b > c$ となる $a, b, c$ の選び方の総数を $L$ とする。このとき， $L >_{n} C_{3}$ であることを示せ。

出典：北海道大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

解法1（十分な部分集合を作る証明）

(1) は $k + 1, k + 2, \dots, k + n$ の $n$ 個から3個を選ぶだけで，順序は $a < b < c$ によって自動的に決まる。(2) は $L$ を正確に数えなくてもよい。まず $n < a < b < c ≦ 2 n$ を満たす三つ組はすべて $a + b > c$ を満たし，その個数は (1) により $_{n} C_{3}$ 個である。さらにこの集合に含まれない具体例 $(2, n, n + 1)$ が条件を満たすことを示せば， $L$ はそれより真に大きい。

解法2（条件を満たす三つ組の総数を求める）

(1) は組合せで求める。(2) は最小要素 $a$ を固定し、 $c < a + b$ を満たす $(b, c)$ を数える。 $a ≦ n$ と $a > n$ で上端 $2 n$ の効き方が変わるため、二つの和に分けて正確な $L$ を得る。

解答

解法1（十分な部分集合を作る証明）

(1)

条件 $k < a < b < c ≦ k + n$ を満たす整数は， $k + 1, k + 2, \dots, k + n$ の $n$ 個の整数から異なる3個を選び，小さい順に $a, b, c$ と並べたものにちょうど対応する。したがって選び方の総数は $_{n} C_{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}$ である。

(2)

まず $n < a < b < c ≦ 2 n$ を満たす三つ組 $(a, b, c)$ を考える。このとき $a > n$ ， $b > a > n$ であるから $a + b > 2 n$ である。一方， $c ≦ 2 n$ なので $a + b > 2 n ≧ c$ となり，必ず $a + b > c$ を満たす。

このような三つ組の個数は，整数 $n + 1, n + 2, \dots, 2 n$ の $n$ 個から3個を選ぶ個数である。したがって (1) で $k = n$ とした場合にあたり， $_{n} C_{3}$ 個である。よって，少なくとも $_{n} C_{3}$ 個の三つ組が $a + b > c$ を満たす。

さらに， $n ≧ 3$ であるから $(a, b, c) = (2, n, n + 1)$ は $1 ≦ 2 < n < n + 1 ≦ 2 n$ を満たす。また $a + b = 2 + n > n + 1 = c$ であるから，この三つ組も $a + b > c$ を満たす。一方，この三つ組は $a = 2 ≦ n$ であるため，先ほど数えた $n < a < b < c ≦ 2 n$ を満たす三つ組には含まれていない。

したがって， $a + b > c$ を満たす三つ組は，少なくとも $_{n} C_{3}$ 個に加えて別の1個をもつ。ゆえに $L >_{n} C_{3}$ である。

解法2（条件を満たす三つ組の総数を求める）

(1)

$k + 1, k + 2, \dots, k + n$ の $n$ 個から異なる3個を選べば、小さい順への並べ方は一意である。したがって個数は

_{n} C_{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}

である。

(2)

$a$ を固定する。各 $b$ に対し $b < c ≦ 2 n$ 、 $c < a + b$ を満たす $c$ の個数は

min {2 n - b, a - 1}

である。

まず $2 ≦ a ≦ n$ のとき、 $b = a + 1, \dots, 2 n - a + 1$ では個数が $a - 1$ 、それより大きい $b$ では $2 n - b$ である。したがって固定した $a$ に対する個数は

(2 n - 2 a + 1) (a - 1) + j = 1 \sum a - 2 j = \frac{( a - 1 ) ( 4 n - 3 a )}{2} .

次に $n + 1 ≦ a ≦ 2 n - 2$ のときは、すべての $b$ で上端 $2 n$ が先に効くので、個数は

j = 1 \sum 2 n - a - 1 j = \frac{( 2 n - a - 1 ) ( 2 n - a )}{2}

である。よって

L = a = 2 \sum n \frac{( a - 1 ) ( 4 n - 3 a )}{2} + a = n + 1 \sum 2 n - 2 \frac{( 2 n - a - 1 ) ( 2 n - a )}{2} = \frac{n ( n - 1 ) ^{2}}{2} + \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6} = \frac{n ( n - 1 ) ( 4 n - 5 )}{6} .

したがって

L -_{n} C_{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( 4 n - 5 ) - n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6} = \frac{n ( n - 1 ) ^{2}}{2} > 0

であり、 $L >_{n} C_{3}$ が従う。

この別解は正確な $L$ まで与えるが、不等式の証明だけなら解法1の方が短い。

北海道大学 2025年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解法1（十分な部分集合を作る証明）

解法2（条件を満たす三つ組の総数を求める）

解答

解法1（十分な部分集合を作る証明）

(1)

(2)

解法2（条件を満たす三つ組の総数を求める）

(1)

(2)

北海道大学 2025年度
理系数学前期第5問