北海道大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
数列 $\{a_n\}$ は初項 $\alpha$，公比 $r$ の等比数列なので $$a_n=\alpha r^{n-1},a_{n+1}=\alpha r^n$$ である。ここで $c={\log }_{\alpha }r$ とおく。$\alpha >1$，$r>1$ だから $c>0$ である。底の変換を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n}& {\displaystyle ={\log }_{a_n}(a_{n+1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\log }_{\alpha }(a_{n+1})}{{\log }_{\alpha }(a_n)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\log }_{\alpha }(\alpha r^n)}{{\log }_{\alpha }(\alpha r^{n-1})}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1+n{\log }_{\alpha }r}{1+(n-1){\log }_{\alpha }r}}\end{array}$$である。したがって $$b_n=\frac{1+n{\log }_{\alpha }r}{1+(n-1){\log }_{\alpha }r}$$ である。

(2) $c={\log }_{\alpha }r$ とおくと，(1)より $$b_n=\frac{1+nc}{1+(n-1)c}$$ である。これがすべての自然数 $n$ について $\frac{n+2}{n+1}$ に等しいための条件を求める。$c>0$ なので分母は正であり，交差に掛けて $$(n+1)(1+nc)=(n+2)\{1+(n-1)c\}$$ である。両辺を展開すると $$n+1+n(n+1)c=n+2+(n+2)(n-1)c$$ である。ここで $n(n+1)-(n+2)(n-1)=2$ だから $$n+1+\{(n+2)(n-1)+2\}c=n+2+(n+2)(n-1)c$$ より $2c=1$ を得る。したがって $c=\frac{1}{2}$ である。逆に $c=1\mathrm{/}2$ なら上の等式がすべての $n$ で成り立つので，これは必要十分条件である。

よって ${\log }_{\alpha }r=\frac{1}{2}$ すなわち $$r=\sqrt{\alpha }$$ である。

(3)
(2) の条件のもとでは $$r=\sqrt{\alpha }$$ だから $$a_n=\alpha r^{n-1}=\alpha (\sqrt{\alpha }{)}^{n-1}={\alpha }^{(n+1)\mathrm{/}2}$$ である。したがって，$k$ 個の積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_1{a}_2\cdots a_k}& {\displaystyle ={\alpha }^{\frac{2}{2}}{\alpha }^{\frac{3}{2}}\cdots {\alpha }^{\frac{k+1}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\alpha }^{\frac{1}{2}\{2+3+\cdots +(k+1)\}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\alpha }^{\frac{k(k+3)}{4}}}\end{array}$$である。

整数部分が2桁であることは $10\leqq a_1{a}_2<100$ と同値である。$a_1{a}_2={\alpha }^{5\mathrm{/}2}$ なので $$10\leqq {\alpha }^{5\mathrm{/}2}<100$$ より $${10}^{2\mathrm{/}5}\leqq \alpha <{10}^{4\mathrm{/}5}$$ を得る。

整数部分が3桁であることは $100\leqq a_1{a}_2{a}_3<1000$ と同値である。$a_1{a}_2{a}_3={\alpha }^{9\mathrm{/}2}$ なので $$100\leqq {\alpha }^{9\mathrm{/}2}<1000$$ より $${10}^{4\mathrm{/}9}\leqq \alpha <{10}^{2\mathrm{/}3}$$ を得る。

整数部分が4桁であることは $$1000\leqq a_1{a}_2{a}_3{a}_4<10000$$ と同値である。$a_1{a}_2{a}_3{a}_4={\alpha }^7$ なので $1000\leqq {\alpha }^7<10000$ より $${10}^{3\mathrm{/}7}\leqq \alpha <{10}^{4\mathrm{/}7}$$ を得る。

これら3つの範囲の共通部分を取る。下端は $$\max \{\frac{2}{5},\frac{4}{9},\frac{3}{7}\}=\frac{4}{9}$$ であり，上端は $$\min \{\frac{4}{5},\frac{2}{3},\frac{4}{7}\}=\frac{4}{7}$$ である。したがって求める範囲は $${10}^{4\mathrm{/}9}\leqq \alpha <{10}^{4\mathrm{/}7}$$ である。