Evolton
方針
平面 上の点を の一次結合で表し、まず の座標を で求める。直線 が平面と直交する条件は、 が平面内の2つの独立な方向ベクトル の両方に垂直であることに置き換える。体積は底面を座標平面上に選び、高さを距離として読む。
解答
(1) である。したがってとなる。
よって である。
(2)
直線 が平面 と直交するので、 は平面 内の方向ベクトル と の両方に垂直である。すなわちである。
(1) より であるから、まずであり、 を得る。またであるから、 である。 を代入すると より となる。
したがって である。
(3)
底面を三角形 とみる。点 はいずれも平面 上にあり、 である。これらは垂直で、長さはそれぞれ だから、三角形 の面積は である。
点 から平面 までの距離は である。よって四面体 の体積は である。
別解
解法2
方針
平面 の方程式を先に求める。 と に垂直なベクトルを平面の法線ベクトルとして使えば、 が平面に垂直なとき は原点を通る法線上にあることが分かる。
解答
(1) であるから、である。よって となる。
(2) と の両方に垂直なベクトルとして、例えば をとることができる。実際、 である。
したがって平面 は、点 を通り法線ベクトル をもつから、 すなわち である。
直線 がこの平面に垂直であるとき、 は原点を通り法線ベクトル の方向にあるので、 とおける。これが平面 上にあるから、 より である。したがって を得る。
(3)
三角形 は平面 上にある。、、かつ であるから、その面積は である。点 から平面 までの距離は なので、四面体 の体積は である。
総評
難度5、計算量4。想定時間は9分程度で、文系受験者には落とせない必答問題である。空間ベクトルの標準問題であり、平面上の点のパラメータ表示、直線と平面の垂直条件、四面体の体積を順に確認する構成になっている。(2)では「直線が平面に垂直」を、平面内の独立な2方向との内積がともに0であることに直すのが主な得点点である。別解のように平面方程式を先に作ってもよいが、いずれの方法でも法線方向と平面上にある条件の両方を満たすことを確認する必要がある。(3)は底面を に選ぶと高さが 座標の差として読め、計算を大きく減らせる。