北海道大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
平面 $\alpha$ は $z$ 軸上の点 $C(0,0,h)$ を通る。さらに $x$ 軸との交点を $A$、$y$ 軸との交点を $B$ とするので、$$A=(a,0,0),B=(0,b,0),C=(0,0,h)$$ とおける。このとき平面 $\alpha$ は切片形で $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{h}=1$$ と表せる。

点 $P(1,0,3)$ は $\alpha$ 上にあるから、$\frac{1}{a}+\frac{3}{h}=1$ である。したがって $$\frac{1}{a}=1-\frac{3}{h}=\frac{h-3}{h}$$ となり、$$a=\frac{h}{h-3}$$ を得る。よって $A$ の $x$ 座標は $\frac{h}{h-3}$ である。

(2)
同様に、点 $Q(0,2,3)$ は $\alpha$ 上にあるから、$\frac{2}{b}+\frac{3}{h}=1$ である。よって $$\frac{2}{b}=\frac{h-3}{h}$$ となり、$$b=\frac{2h}{h-3}$$ である。

四面体 $OABC$ は3つの辺 $OA,OB,OC$ が互いに座標軸方向にあるので、体積は $$V=\frac{1}{6}\cdot OA\cdot OB\cdot OC$$ である。ここで $h>3$ だから $a,b,h$ はすべて正であり、$$OA=a=\frac{h}{h-3},OB=b=\frac{2h}{h-3},OC=h$$ である。したがって$$V=\frac{1}{6}\cdot \frac{h}{h-3}\cdot \frac{2h}{h-3}\cdot h=\frac{h^3}{3(h-3{)}^2}$$である。

(3) $$V=\frac{h^3}{3(h-3{)}^2}$$ とおく。$h>3$ において微分すると、$$V^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3h^2(h-3{)}^2-2h^3(h-3)}{(h-3{)}^4}$$ である。分子を整理して $$V^{\mathrm{\prime }}=\frac{h^2(h-9)}{3(h-3{)}^3}$$ を得る。 $h>3$ では $h^2>0$、$(h-3{)}^3>0$ であるから、$V^{\mathrm{\prime }}$ の符号は $h-9$ の符号で決まる。したがって $3<h<9$ で $V^{\mathrm{\prime }}<0$、$h>9$ で $V^{\mathrm{\prime }}>0$ である。

また、$h\to 3+0$ のとき $V\to \mathrm{\infty }$、$h\to \mathrm{\infty }$ のときも $V\to \mathrm{\infty }$ である。よって $V$ は $h=9$ で最小となる。その値は $$V(9)=\frac{9^3}{3\cdot 6^2}=\frac{729}{108}=\frac{27}{4}$$ である。